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Les polygones

On appelle polygone toute figure plane limitée par des segments de droites; ces segments sont les côtés du polygone.

Définitions

Le triangle est le plus simple des polygones. Les polygones prennent les noms de quadrilalère, pentagone, hexagone, heptagone, octogone, ennéagone, décagone, undécagone, dodécagone, suivant qu'ils ont , quatre, cinq, six..., douze côtés. Un pentédécagone est un polygione de quinze côtés; les autres polygones se désignent par le nombre de leurs côtés.

Types de polygones.
Polygone convexe.
Un polygone convexe est un polygone dont le contour ou périmètre ne peut être coupé en plus de deux points par une, ligne droite.

Polygone non convexe.
Un polygone non convexe a des angles plus grands que deux angles droits. Ces angles sont appelés angles rentrants.

Polygone équiangle, équilatéral.
Un polygone est équiangle lorsque tous ses angles sont égaux. Il est équilatéral lorsque tous ses côtés sont égaux.

Polygone régulier.
On appelle polygone régulier tout polygone qui a tous ses côtés
égaux et tous ses angles égaux.

Un polygone régulier est à la fois équilatéral et équiangle.
Eléments d'un polygone.
Diagonale.
On appelle diagonale d'un polygone toute droite qui joint deux sommets non consécutifs.

Angle extérieur.
On appelle angle extérieur d'un polygone tout angle formé par un côté quelconque, et le prolongement du côté adjacent.

Chaque angle extérieur d'un polygone est le supplément du l'angle intérieur adjacent.
Théorème a.
La somme des angles d'un triangle quelconque est égale à deux angles droits.

Corollaires :

1° L'angle extérieur BAD d'un triangle égale la somme des deux angles intérieurs opposés b et c;

2° Chaque angle d'un triangle est le supplément de la somme des deux autres;

3° Si deux triangles ont deux angles respectivement égaux, le troisième angle de l'un est aussi égal au troisième de l'autre;

4° Un triangle quelconque a toujours au moins deux angles aigus; 

5° Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires;

6° Chaque triangle équilatéral égale les 2/3; d'un angle droit (dr).


Théorème b.
La somme des angles intérieurs d'un polygone quelconque égale autant de fois deux angles droits que ce polygone a de côtés moins deux.

Scolie.
Si l'on appelle n le nombre des cotés d'un polygone, le nombre de triangles donnés par les diagonales partant d'un même sommet sera n-2, et la somme dus angles sera :

(n-2) X 2.dr ou ou 2.n.dr - 4.dr

Corollaires.

1° La somme des angles d'un quadrilatère quelconque égale quatre angles droits; et si le quadrilatère est équiangle, chaque angle est droit;

2° Si deux angles d'un quadrilatère sont supplémentaires, les deux antres angles le sont aussi;

3° La somme des angles extérieurs d'un polygone quelconque égale quatre angles droits. 

Les quadrilatères

Types de quadrilatères.
Parallélogramme.
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.

Rectangle.
Un rectangle est un quadrilatère dont tous les angles sont égaux, et par suite droits.

Losange.
Un losange est un quadrilatère dont tous les côtés sont égaux.

Carré.
Un carré est un quadrilatère qui a ses côtés égaux et ses angles égaux. C'est le quadrilatère régulier, à la fois losange et rectangle.

Trapèze.
Un trapèze est un quadrilatère qui a deux côtéss parallèles; ces deux côtés sont les bases du trapèze.

Un trapèze est rectangle lorsque l'un des côtés non parallèles est perpendiculaire aux bases.

Un trapèze est isocèle lorsque les côtés non parallèles sont égaux.

Théorème 1.
Les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux, ainsi que les angles opposés.

Réciproquement :
Tout quadrilatère qui a ses côtés opposés égaux, ou ses angles opposés égaux, est un parallélogramme.

Corollaire.
Le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes.

Théorème 2.
Tout quadrilatère qui a deux côtés opposés égaux et parallèles est un parallélogramme.

Théorème 3.
Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leurs milieux.

Réciproquement :
Tout quadrilatère dont les diagonales se coupent en leurs milieux est un parallélogramme.

Scolies.

1° Les diagonales d'un losange se coupent à angle droit.

2° Les diagonales d'un rectangle sont égales. 

3° Dans un carré, les diagonales sont égales, et elles se coupent en leurs milieux et à angle droit; car le carré est à la fois un rectangle et un losange.

Autres propriétés.
• Les milieux des côtés d'un quadrilatère quelconque sont les sommets d'un parallélogramme;

• Dans un quadrilatère quelconque, les droites qui joignent les milieux des côtés opposés se coupent en leurs milieux.

•  Les bissectrices intérieures d'un parallélogramme se rencontrent de manière à former entre elles un rectangle.

• Les bissectrices intérieures d'un quadrilatère quelconque se rencontrent de manière à former un nouveau quadrilatère dont les angles opposés sont supplémentaires.

• Les bissectrices intérieures d'un rectangle se rencontrent en formant un carré.

• Toute droite menée dans un parallélogramme par le point de rencontre des diagonales, a ce point pour milieu; et c'est pourquoi ce point est nommé centre du parallélogramme.

• Deux parallélogrammes sont égaux :

1° lorsqu'ils ont un angle égal compris entre des côtés respectivement égaux;

 2° lorsqu'ils ont deux cotés adjacents respectivement égaux, et une diagonale égale et de même position; 

3° Lorsque leurs diagonales sont égales et se coupent sous un même angle.

• Dans un trapèze, la droite qui joint les milieux des côtés non arallèles est parallèle aux bases et égale à leur demi-somme; et la partie de cette droite comprise entre les deux diagonales est égale à la demi-différence des bases.

• Dans un quadrilatère convexe, la somme des diagonales estt comprise entre le périmètre et le demi-périmètre.

• Deux quadrilatères sont égaux : 

1° lorsqu'ils ont trois côtés et les deux angles compris respectivement égaux;

2° lorsqu'ils ont deux côtés consécutifs et les trois angles adjacents reslxctiveinent égaux;

3° lorsqù ils ont un angle égal et les quatre côtés respectivement égaux et placés dans le même ordre.


• Dans un quadrilatère quelconque, les droites qui Joignent les milieux des côtés opposes se rencontrent au milieu de la droite qui joint les milieux de diagonales.
 

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