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Moment d'inertie

Le principe de l'inertie en mouvement linéaire (la première loi de Newton) énonce qu'un objet au repos tend à rester au repos, et un objet en mouvement tend à maintenir sa vitesse, à moins qu'une force n'agisse sur lui. La masse (m) est la mesure quantitative de cette inertie linéaire. Plus un objet est massif, plus il est difficile de le mettre en mouvement ou de l'arrêter. Le moment d'inertie est l'équivalent de cette masse pour le mouvement de rotation. Il quantifie la résistance d'un objet aux changements de son mouvement de rotation (c'est-à-dire à son accélération ou sa décélération angulaire).

De la même façon que pour une force linéaire de module F, la relation qui définit la masse m en fonction de cette force et de l'accélération de module a qu'elle provoque est m = F/a, pour un couple de forces τ, la relation qui définira le moment d'inertie J en fonction de de ce couple et de l'accélération angulaire α qu'il provoque sera J = τ/ α.

Le moment d'inertie ne dépend pas seulement de la masse totale, mais aussi de la répartition de cette masse par rapport à l'axe de rotation. D'où cette définition plus formelle du moment d'inertie :

Le moment d'inertie d'un objet par rapport à un axe de rotation donné est la somme des produits de la masse de chaque élément de l'objet par le carré de sa distance à l'axe.
• Pour un système de i masses ponctuelles : J = Σ (mi × ri²), où mi est une masse ponctuelle et ri sa distance à l'axe.
• Pour un objet solide continu : J = ∫ r² dm, où dm est un élément de masse infinitésimal et r sa distance à l'axe. Un disque de masse m et de rayon r tournant autour de son axe de symétrie a ainsi pour moment d'inertie J = ½ mr²; s'il tourne autour d'un de ses diamètres J = ¼ mr²; dans le cas d'une sphère en rotation autour d'un de ses diamètres, J = 2/5 mr².
Cette dépendance en r² est essentielle. Elle signifie, par exemple, que doubler la distance d'une masse à l'axe quadruple (élève au carré) sa contribution au moment d'inertie.

Un exemple : il est facile d'ouvrir une porte en poussant près de la poignée (loin des charnières, donc r est grand). Il est très difficile de l'ouvrir en poussant près des charnières (r est petit). La masse de la porte est la même, mais son moment d'inertie effectif par rapport à l'axe (les charnières) est plus faible quand on pousse là où r est grand. En réalité, le couple τ appliqué est Fr. Pour une même force F, un r plus grand donne un couple plus grand.

Le moment d'inertie est une grandeur scalaire additive de dimension ML². Unités SI : kg.m².

Le théorème des axes parallèles (théorème de Huygens-Steiner).
Le théorème de Huygens-Steiner, également appelé théorème des axes parallèles permet de calculer le moment d'inertie d'une distribution de masse autour d'un axe parallèle à un autre axe autour duquel on connaît déjà le moment d'inertie.

Énoncé : soit un système matériel de masse totale m dont le moment d'inertie JCm est connu autour d'un axe passant par son centre de masse (ou centre d'inertie). Si l'on considère un autre axe parallèle à ce premier axe et distant de lui d'une distance d, alors le moment d'inertie J autour de cet axe parallèle est donné par :J = JCm + m × d²,

Ce théorème indique donc que le moment d'inertie autour d'un axe distant de d du centre de gravité s'obtient en ajoutant au moment d'inertie autour du centre de gravité une contribution supplémentaire Md², qui provient de la translation de tout le système de masse autour de l'axe distant.

Les mots de la matière