L'hyperbole a été étudiée par les mathématiciens grecs, notamment Ménéchme et Apollonius de Perge, qui a donné son nom à la courbe. Le mot hyperbole signifie excès ou dépassement, par opposition à ellipse qui signifie manque et à parabole qui signifie comparaison. L'hyperbole joue un rôle important dans de nombreux domaines. En astronomie et en mécanique céleste, les trajectoires non liées d'un corps soumis à une force gravitationnelle, comme certaines comètes ou certains astéroïdes, sont des hyperboles. En navigation, les systèmes de positionnement par différences de temps d'arrivée, comme le LORAN, utilisent des hyperboles : l'ensemble des points pour lesquels la différence de distance à deux stations est constante forme une hyperbole. En optique, les miroirs hyperboliques sont employés dans les télescopes de type Cassegrain. En relativité restreinte, les hyperboles apparaissent naturellement dans les diagrammes de Minkowski, où elles représentent des événements séparés par un intervalle d'espace-temps constant. On les retrouve aussi dans l'architecture, notamment dans la forme des tours de refroidissement, et dans de nombreux problèmes d'analyse, de géométrie analytique et de physique où interviennent des équations du second degré à discriminant positif.

Si l'axe transverse est vertical, l'équation devient y²/a² − x²/b² = 1, avec les foyers sur l'axe des ordonnées. Plus généralement, une hyperbole dont le centre est (h, k) et dont l'axe transverse est horizontal a pour équation (x−h)²/a² − (y−k)²/b²=1. Toute conique peut être représentée par une équation quadratique générale Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0; elle est une hyperbole lorsque le discriminant B²−4AC est strictement positif, ce qui correspond à deux branches et à l'existence d'asymptotes réelles.

Les asymptotes de l'hyperbole x²/a²−y²/b²=1 sont les droites y=±(b/a)x. Elles passent par le centre et encadrent les branches, qui s'en rapprochent indéfiniment sans jamais les atteindre. L'hyperbole conjuguée, définie par x²/a²−y²/b²=−1, possède les mêmes asymptotes mais ses branches sont orientées perpendiculairement. Lorsque a=b, l'hyperbole est dite équilatère ou rectangulaire : ses asymptotes sont perpendiculaires, son équation devient x²−y²=a², et son excentricité vaut √2​. Après une rotation de 45°, une hyperbole rectangulaire peut aussi s'écrire xy = k, forme particulièrement simple et souvent utilisée en analyse.

L'excentricité e d'une hyperbole est définie par e=c/a​. Comme c>a on a toujours e>1. Cette grandeur mesure l'ouverture de la courbe : plus e est grand, plus les branches sont écartées et plus l'hyperbole est "ouverte". À chaque foyer est associée une directrice. Pour l'hyperbole x²/a²−y²/b²=1, les directrices ont pour équations x=±a/e​. La définition focale-directrice s'énonce alors ainsi : un point M appartient à l'hyperbole si et seulement si le rapport de sa distance à un foyer à sa distance à la directrice correspondante est égal à e. La longueur du côté droit, c'est-à-dire de la corde focale perpendiculaire à l'axe transverse, vaut 2b²/a Le demi-côté droit p=b²/a​ intervient dans l'équation polaire r=p/(1+ecos⁡θ​) lorsqu'un foyer est pris comme pôle, équation qui décrit une branche ou les deux branches selon la convention de signe adoptée pour r.

Une hyperbole peut être paramétrée de plusieurs façons. Pour la branche droite de x²/a²−y²/b² = 1, on peut poser x=acosh⁡t et y=bsinh⁡t, avec t , car cosh²t−sinh²t=1. La branche gauche s'obtient avec x=−acosh⁡t et y=bsinh⁡t. On peut aussi utiliser x=asec⁡t, y=btan⁡t avec les intervalles appropriés pour éviter les valeurs où le cosinus s'annule. La tangente à l'hyperbole au point (x1, y1) a pour équation xx1/a²−yy1/b²=1. Une droite d'équation y=mx+q est tangente à l'hyperbole x²/a²−y²/b²=1 si et seulement si q² =a²m²−b², ce qui impose |m| ≥ ab​ : les pentes des tangentes sont donc extérieures à celles des asymptotes. L'hyperbole possède également une propriété de réflexion remarquable : la tangente en un point M est bissectrice de l'angle formé par les droites joignant M aux deux foyers. Autrement dit, un rayon issu d'un foyer et rencontrant la branche se réfléchit en semblant provenir de l'autre foyer, propriété utilisée dans certains dispositifs optiques.