Son père, fabricant de boutons, meurt alors qu'il est encore enfant, et sa mère se charge de son éducation avec des moyens modestes. Le jeune Alfred se distingue très tôt par ses capacités intellectuelles et obtient une bourse pour étudier au King Edward's School de Birmingham. Il développe un intérêt précoce pour les sciences naturelles, la biologie et la philosophie, tout en manifestant une personnalité indépendante et parfois ombrageuse, qui marquera plus tard ses relations académiques. Il entre à l'université de Cambridge en 1901, au Trinity College, où il étudie d'abord les sciences naturelles, la zoologie et la physiologie, avant de se tourner vers la psychologie et la philosophie. Sous l'influence de William Rivers, Alfred Haddon et Charles Myers, figures de l'expédition anthropologique au détroit de Torrès de 1898, il s'oriente vers l'ethnologie. Il devient l'un des premiers étudiants du nouveau diplôme d'anthropologie de Cambridge et participe aux séminaires animés par Haddon, où l'on discute de parenté, de totémisme, de religion et d'organisation sociale. Il lit avec attention les travaux de Lewis Henry Morgan, de Baldwin Spencer et de Francis Gillen sur les Aborigènes australiens, ainsi que les oeuvres de Durkheim et de ses collaborateurs, qui exercent sur lui une influence décisive.

En 1906, il part pour sa première mission de terrain dans les îles Andaman, dans l'océan Indien, grâce à une bourse de recherche. Il y passe environ deux ans, étudiant les populations locales, leurs rituels, leurs récits, leur organisation sociale et leurs pratiques funéraires. Cette expérience le confronte aux difficultés du travail ethnographique dans des sociétés déjà profondément transformées par la colonisation britannique, les épidémies et la déportation partielle des habitants. Il recueille néanmoins des matériaux considérables qu'il analyse à la lumière des théories sociologiques françaises, cherchant à comprendre comment les croyances, les cérémonies et les règles morales contribuent à maintenir la cohésion du groupe social.

De 1910 à 1912, Radcliffe-Brown entreprend une nouvelle recherche de terrain en Australie occidentale, dans la région de la rivière Gascoyne et du nord-ouest, auprès de plusieurs groupes aborigènes. Il s'intéresse particulièrement aux systèmes de parenté, aux règles de mariage, aux classifications totémiques et aux structures de parenté à plaisanterie et d'évitement. Ces matériaux nourrissent ses analyses ultérieures sur la manière dont les relations de parenté règlent les comportements quotidiens, les alliances matrimoniales et les obligations rituelles. Il développe progressivement une méthode comparative fondée sur la notion de structure sociale, qu'il distingue soigneusement de la culture, des coutumes ou des sentiments individuels.

La Première Guerre mondiale interrompt ses recherches. Il s'engage comme volontaire dans les services médicaux et sanitaires, servant en France puis en Australie, où il occupe des fonctions administratives et d'enseignement. Pendant cette période, il continue de réfléchir aux fondements théoriques de l'anthropologie sociale et lit avec attention les travaux de Durkheim, de Mauss et de leurs élèves sur la solidarité, le sacrifice et les classifications primitives. Il acquiert la conviction que l'anthropologie doit devenir une science naturelle de la société, fondée sur l'observation systématique, la comparaison rigoureuse et la recherche de lois générales.

En 1920, il est nommé professeur d'anthropologie sociale à l'université du Cap, en Afrique du Sud. C'est là qu'il crée l'un des premiers départements d'anthropologie sociale distinct de l'ethnologie descriptive, et qu'il forme une génération d'étudiants, dont Isaac Schapera, qui deviendra l'un des grands spécialistes des sociétés d'Afrique australe. Il enseigne avec une grande rigueur conceptuelle, insistant sur la nécessité de définir précisément les notions de fonction, de structure, d'institution et de système social, et de distinguer l'analyse synchronique de l'histoire conjecturale. Il voyage en Afrique du Sud, observe les transformations des sociétés africaines sous l'effet de la colonisation et du travail migrant, et encourage ses étudiants à mener des enquêtes de terrain intensives.

De retour en Angleterre, il publie en 1922 une monographie intitulée Les Insulaires d'Andaman (The Andaman Islanders), dans laquelle il propose une interprétation structurale et fonctionnelle des mythes, des danses et des rites fortement influencée par la sociologie d'Émile Durkheim. Radcliffe-Brown y démontre que les rites, les systèmes de parenté et les interdits ne visent pas à satisfaire des besoins psychologiques individuels, mais à répondre aux exigences du système social dans son ensemble. Il analyse par exemple les cérémonies de deuil comme des mécanismes essentiels qui transforment le chagrin individuel en solidarité collective, ce qui renforce les sentiments nécessaires à la survie du groupe. L'ouvrage établit également l'importance de la réciprocité et du totémisme comme éléments interdépendants d'une structure sociale visant à maintenir l'harmonie et la cohésion communautaire. Les Insulaires d'Andaman, publié la même année que Les Argonautes du Pacifique occidental de Malinowski, marque le début d'une rivalité intellectuelle durable entre les deux hommes, bien que leurs méthodes et leurs théories diffèrent sensiblement.

En 1925, il est invité à l'université de Sydney, en Australie, où il fonde le département d'anthropologie et organise de vastes programmes de recherche sur les Aborigènes. Il y obtient des financements publics et privés, supervise de nombreuses missions de terrain dans le nord et le centre de l'Australie, et crée la revue Oceania, destinée à publier les résultats de ces recherches. Il forme des anthropologues comme William Lloyd Warner, Gregory Bateson et Olive Pink, qui étudient les systèmes de parenté, les rituels et les structures de clans dans différentes régions du continent australien. Son enseignement y est marqué par une grande clarté logique et une exigence de systématisation qui impressionnent ses étudiants, même si certains le jugent autoritaire et peu disposé à la discussion contradictoire.

Il publie en 1930 L'Organisation sociale des tribus australiennes (The Social Organization of Australian Tribes), fruit de ses recherches en Australie-Occidentale entre 1910 et 1912. Ce travail demeure une référence incontournable pour l'étude des peuples aborigènes. Il y décortique les mécanismes de la parenté, montrant comment la descendance patrilinéaire, l'exogamie des clans et les terminologies de parenté classificatoires ne sont pas de simples vestiges du passé, mais des structures actives créant un réseau d'alliances qui s'étend à l'ensemble de la société. Cette organisation assure la régulation des comportements et la coopération entre les groupes, illustrant parfaitement sa thèse selon laquelle la structure sociale est un réseau de relations fonctionnellement cohérentes et interdépendantes.

De 1931 à 1937, il occupe la chaire d'anthropologie sociale à l'université de Chicago, aux États-Unis. Il y rencontre une tradition intellectuelle différente, marquée par l'école de Chicago en sociologie et par l'anthropologie culturelle de Franz Boas et de ses élèves. Il maintient ses positions théoriques, en affirmant que l'anthropologie sociale doit étudier les relations sociales observables et leurs arrangements structuraux, plutôt que les contenus culturels ou les personnalités individuelles. Il influence néanmoins des chercheurs comme Fred Eggan et Sol Tax, et participe aux débats sur les méthodes comparatives et sur les relations entre anthropologie, sociologie et psychologie.

En 1937, il revient en Angleterre pour occuper la première chaire d'anthropologie sociale créée à l'université d'Oxford. Cette nomination marque l'apogée de sa carrière et la consécration institutionnelle de sa conception de la discipline. À Oxford, il dirige l'Institut d'anthropologie sociale, organise des séminaires hebdomadaires où l'on discute avec une extrême précision des systèmes de parenté, des classifications totémiques et des théories fonctionnalistes, et forme une nouvelle génération d'anthropologues, parmi lesquels figurent Edward Evan Evans-Pritchard, Meyer Fortes, Max Gluckman, John Barnes, Phyllis Kaberry et bien d'autres. Ses séminaires sont réputés pour leur atmosphère intimidante et leur rigueur conceptuelle; il interrompt volontiers les intervenants pour exiger des définitions exactes, des propositions claires et des exemples ethnographiques probants.

Radcliffe-Brown entretient des relations complexes avec ses contemporains. Il admire profondément Durkheim, dont il reprend la notion de solidarité et la méthode sociologique, mais il reproche aux durkheimiens français leur manque de données ethnographiques de première main. Il critique sévèrement les reconstitutions historiques des évolutionnistes et des diffusionnistes, qu'il juge conjecturales et non scientifiques. Avec Malinowski, la rivalité est à la fois personnelle et théorique : Radcliffe-Brown reproche à son collègue son individualisme méthodologique, son insistance sur les besoins biologiques et son manque de rigueur conceptuelle, tandis que Malinowski juge le structuralisme de Radcliffe-Brown trop abstrait, trop éloigné des motivations concrètes des acteurs. Les deux hommes dominent néanmoins l'anthropologie britannique de l'entre-deux-guerres et contribuent à en faire une discipline majeure des sciences sociales.

Après sa retraite d'Oxford en 1946, il continue d'enseigner comme professeur invité dans plusieurs universités, notamment à Alexandrie, à Manchester, à São Paulo, à l'université de Cambridge et à l'université nationale australienne. Il voyage beaucoup, donne des conférences, supervise des thèses et publie des articles théoriques. Parallèlement à ses propres monographies, Radcliffe-Brown joue un rôle éditorial et théorique majeur avec l'ouvrage collectif Systèmes africains de parenté et de mariage (African Systems of Kinship and Marriage), co-dirigé avec Daryll Forde et publié en 1950. Dans l'introduction théorique qu'il y rédige, il pose les principes d'une étude comparative de la parenté, rejetant les explications par la fiction historique au profit de l'analyse fonctionnelle. L'ouvrage illustre comment les systèmes de parenté et les règles matrimoniales, tels que les paiements matrimoniaux, l'évitement de la belle-mère ou les relations de plaisanterie, structurent la vie économique, politique et religieuse, permettant aux individus de coopérer de manière ordonnée et de gérer les conflits inhérents à la vie collective dans diverses sociétés africaines.

La maturité de sa pensée théorique est synthétisée dans l'ouvrage Structure et fonction dans la société primitive (Structure and Function in Primitive Society), publié en 1952. Ce recueil d'essais et de conférences formalise le cadre du fonctionnalisme structurel en opposition aux théories pseudo-historiques. Radcliffe-Brown y développe l'idée que la structure sociale est l'ensemble des relations sociales qui unissent les individus et les groupes dans une société donnée, et que la fonction d'une institution est la contribution qu'elle apporte au maintien de cette structure. Il accorde une importance particulière aux systèmes de parenté, qu'il analyse comme des ensembles structurés de droits et de devoirs, et aux pratiques rituelles, dont il montre qu'elles régulent les émotions collectives et renforcent la solidarité sociale. Il s'intéresse aux relations à plaisanterie et aux relations d'évitement, qu'il interprète comme des mécanismes de gestion des tensions entre parents par alliance ou entre générations. Il propose aussi une analyse célèbre du totémisme, dans laquelle il affirme que les espèces totémiques sont choisies parce qu'elles représentent des oppositions et des similitudes entre groupes sociaux, et non en raison de croyances religieuses préexistantes.

Ses dernières années sont assombries par des problèmes de santé, notamment une bronchite chronique et des troubles cardiaques, mais il conserve jusqu'au bout une activité intellectuelle intense et un goût prononcé pour la polémique théorique. Il meurt en 1955 à l'âge de soixante-quatorze ans. Sa disparition marque la fin d'une époque dans l'anthropologie britannique, celle où les grands systèmes théoriques cherchaient à établir des lois générales de la vie sociale à partir de monographies ethnographiques approfondies. Après sa mort, l'anthropologie sociale britannique évolue vers des approches plus historiques, plus dynamiques et plus attentives aux conflits, aux changements et aux stratégies individuelles, sous l'influence d'Evans-Pritchard, de Gluckman et de leurs élèves. Mais son influence demeure profonde dans les études de parenté, dans l'analyse des rituels et dans l'exigence de rigueur conceptuelle qui caractérise encore une grande partie de la discipline.

Plusieurs ouvrages posthumes complètent son oeuvre. L' ambition de rigueur scientifique de l'anthropologue trouve ainsi son expression la plus aboutie dans Une science naturelle de la société (A Natural Science of Society), qui sera publié en 1957, mais basé sur des conférences données à l'Université de Chicago en 1937. Dans ce texte, il plaide pour que l'anthropologie sociale devienne une science naturelle au même titre que la biologie ou la physique. Il y distingue clairement le domaine de la psychologie, qui étudie les processus mentaux individuels, de celui de l'anthropologie sociale, qui doit se consacrer à l'étude des processus d'interaction et des relations sociales objectives. Pour lui, la comparaison systématique de diverses sociétés permet de dégager des lois universelles régissant la vie sociale, fondant ainsi une science véritable et objective de la société.

Dans Méthode en anthropologie sociale (Method in Social Anthropology), publié en 1958, Radcliffe-Brown renforce sa position selon laquelle l'observation empirique de terrain et la méthode comparative sont les seuls outils légitimes pour bâtir une anthropologie scientifique. Il y réaffirme que la culture doit être appréhendée comme un système de parties imbriquées, où aucun élément ne peut être compris isolément, mais seulement dans le contexte de ses relations avec l'ensemble de la structure sociale.