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Progression

On appelle progression' arithmétique, ou par différence, une suite de termes, a, b, c, tels que la différence entre un terme quelconque et celui qui le précède soit constante. Cette constante r est appelée raison de la progression. Une progression géométrique, ou par quotient, est une suite de termes tels que le quotient de chacun d'eux par celui qui le précède est constant; et ce quotient q est la raison de la progression.

Il en résulte qu'une progression par différence de n termes peut s'écrire :

a, a+r, a+2r,... , a+(n-1)r,

et qu'une progression par quotient de n termes peut s'écrire

a, aq, aq²,... , aq^n-1.

Une progression par différence ou par quotient est limitée ou indéfinie, suivant que le nombre des termes est fini ou non. La somme de deux termes équidistants des termes extrêmes est constante dans une progression par différence, et le produit de ces deux termes est constant dans une progression par quotient.

La somme des n termes d'une progression par différence est

(a+l) n/2 ou an + n(n-1) r/2.

Celle des n termes d'une progression par quotient est

(lq - a)/(q-1) ou a(qⁿ-1)/(q-1).

Le produit des n termes de cette même progression est

Quand tous les termes d'une progression par quotient sont positifs et que la raison q est inférieure à l'unité, cette progression est dite décroissante. Si elle est en même temps illimitée, la somme des termes, quand on les prend en nombre de plus
en plus grand, tend vers une limite qui est a/(1-q). Une progression géométrique décroissante est donc l'un des exemples les plus simples d'une série convergente.

La théorie des progressions est importante, soit au point de vue purement théorique, soit en ce qui concerne les applications. Les logarithmes en tirent leur origine. Les problèmes relatifs aux intérêts composés, aux annuités et à toutes les questions analogues en font un constant usage. Les définitions et les principaux résultats que nous avons rappelés ci-dessus suffisent à donner une idée générale de ces précieux instruments analytiques.

Dictionnaire Idées et méthodes