L'Antiquité

Égypte ancienne.
Les Égyptiens, bien que moins avancés que les Babyloniens en termes d'algèbre, utilisaient des méthodes arithmétiques pour résoudre des problèmes simples, comme des systèmes d'équations linéaires, avec des techniques que l'on trouve dans le Papyrus Rhind.

La Grèce antique : l'algèbre géométrique.
Les mathématiciens grecs ont privilégié une approche géométrique des problèmes algébriques.

Euclide.
Dans ses Éléments, Euclide (300 av. J.-C.)  résout des équations quadratiques à l'aide de constructions géométriques. Cette méthode, appelée algèbre géométrique, reste dominante dans la pensée grecque.

Diophante.
Considéré comme le "père de l'algèbre", Diophante d'Alexandrie (III^e siècle ap. JC)  a écrit l'Arithmetica, un traité qui aborde la résolution d'équations indéterminées (c'est-à-dire avec plusieurs solutions possibles). Il utilise des symboles pour représenter les inconnues et leurs puissances, marquant une étape clé vers l'algèbre symbolique.

Le Moyen âge et la Renaissance

Al-Khwarizmi.
Le mathématicien perse Al-Khwarizmi (IX^e siècle) est considéré comme le fondateur de l'algèbre. Dans son traité Kitab al-jabr wal-muqabala (le livre de la restauration et de la réduction), il systématise la résolution des équations linéaires et quadratiques. C'est de son nom que dérive le terme "algèbre".

Khayyam.
Omar Khayyam (XI^e siècle) développe des solutions géométriques pour des équations cubiques et propose une classification systématique des équations algébriques. Il anticipe l'utilisation des coordonnées pour résoudre ces problèmes.

La Renaissance en Europe : l'algèbre devient symbolique.
Aux XV^e et XVI^e siècles, l'algèbre se développe de manière spectaculaire en Europe, notamment en Italie.

Fibonacci.
Avec son Liber Abaci, Léonard de Pise (Fibonacci, XIII^e siècle) contribue à la diffusion des chiffres arabes et des méthodes algébriques dans toute l'Europe.

Del Ferro, Tartaglia et Cardan.
Scipione del Ferro, Niccolò Tartaglia et Gerolamo Cardano (XVI^e siècle)  réussissent à résoudre les équations cubiques et quadratiques. Cardano (Cardan), dans son Ars Magna (1545), publie pour la première fois ces solutions, jetant les bases de l'algèbre moderne.

Viète.
François Viète (XVI^e siècle) est l'un des premiers à utiliser des lettres pour représenter des inconnues et des coefficients dans les équations. Cela marque l'émergence de l'algèbre symbolique.

De 1600 à 1900

Descartes.
Dans son Géométrie (1637), René Descartes (1596-1650) introduit la méthode des coordonnées cartésiennes, reliant l'algèbre à la géométrie. Il popularise l'utilisation systématique des lettres pour représenter les variables et les coefficients.

Newton et Leibniz.
Bien que plus connus pour leur rôle dans l'invention du calcul différentiel et intégral, les travaux d'Isaac Newton et de Gottfried Wilhelm Leibniz ont grandement influencé l'algèbre, en particulier à travers l'étude des séries infinies et des équations fonctionnelles.

Vers une algèbre plus abstraite
Au XVIII^e siècle, l'algèbre progresse vers une abstraction plus poussée.

Euler.
Leonhard Euler (1707-1783) développe de nombreuses notations algébriques encore utilisées aujourd'hui, comme e pour la base des logarithmes naturels et i pour l'unité imaginaire.

Lagrange.
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) étudie les racines des équations polynomiales et développe des méthodes pour comprendre la nature de ces solutions, posant les bases de la théorie des groupes et de l'algèbre abstraite.

La formalisation et les premières abstractions au XIX^e siècle.
Gauss.
Bien que son travail soit antérieur à 1800, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) a profondément influencé l'algèbre au XIX^e siècle. Il a abordé des domaines tels que la théorie des nombres et la résolution des équations polynomiales, et ses contributions à l'algèbre linéaire ont été fondamentales.

Cauchy.
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) a contribué à la formalisation de l'algèbre et a influencé le développement de la théorie des fonctions complexes, en mettant l'accent sur la rigueur et la méthodologie.

Galois.
Évariste Galois (1811-1832) a révolutionné l'algèbre en introduisant la théorie des groupes pour résoudre les équations polynomiales. Son travail, qui est resté largement incompris de son vivant, a jeté les bases de la théorie de Galois, une branche essentielle de l'algèbre moderne.

Abel.
Niels Henrik Abel (1802-1829) a démontré que les équations polynomiales de degré supérieur à 4 ne peuvent pas être résolues par radicaux en général, renforçant les résultats de Galois et établissant des bases solides pour la théorie des équations.

Depuis 1900

Cayley.
Arthur Cayley (1821-1895) a contribué à la théorie des matrices et à l'algèbre linéaire. Il a introduit des concepts comme les matrices de Cayley et les groupes de permutations.

Noether.
Emmy Noether (1882-1935) a développé la théorie des anneaux et des corps de manière systématique, introduisant des concepts essentiels comme les idéaux et les anneaux noethériens. Ses théorèmes, notamment le théorème de Noether, ont eu un impact profond sur la théorie des groupes et l'algèbre abstraite.

L'algèbre abstraite et la théorie des catégories

Von Neumann.
John von Neumann (1903-1957) a joué un rôle clé dans le développement de l'algèbre linéaire et de la théorie des matrices. Ses travaux ont été fondamentaux dans la mécanique quantique et les mathématiques appliquées.

Lang.
Serge Lang (1927-2005) a écrit de nombreux ouvrages influents sur l'algèbre abstraite, notamment sur la théorie des groupes, l'algèbre commutative et la géométrie algébrique.

Eilenberg et Mac Lane.
Samuel Eilenberg (1913-1998) et Saunders Mac Lane (1909-2005)  ont co-développé la théorie des catégories, qui fournit un cadre général pour comprendre les structures algébriques et les relations entre elles. Cette théorie est maintenant une pierre angulaire des mathématiques modernes.

L'algèbre contemporaine et ses applications.
Applications en cryptographie.
L'algèbre moderne joue un rôle central dans la cryptographie, en particulier avec les algorithmes basés sur la théorie des nombres et des groupes, comme les courbes elliptiques.

Théorie des groupes et des algèbres non commutatives.
L'étude des groupes de Lie, des algèbres de Lie et des algèbres non commutatives devient essentielle pour les théories avancées en physique et en mathématiques, notamment en théorie des cordes et en géométrie différentielle.

Algèbre computationnelle.
Avec l'avènement des ordinateurs, l'algèbre computationnelle est devenue un domaine important, utilisant des algorithmes pour résoudre des problèmes complexes en algèbre linéaire, en théorie des nombres et en géométrie algébrique. Des logiciels comme Mathematica et Maple sont devenus des outils indispensables pour les mathématiciens et les ingénieurs.