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Le cylindre

On appelle cylindre de révolution ou cylindre circulaire droit, le solide engendré par la révolution complète d'un rectangle autour de l'un de ses côtés.

Définitions. Propriétés générales

• Le côté h autour duquel tourne le rectangle générateur est à la fois l'axe et la hauteur.

Le côté l opposé à l'axe est la génératrice ou le côté du cylindre; pendant le mouvement, ce côté engendre la surface latérale du cylindre.

Les deux autres côtés du rectangle générateur sont les rayons du cylindre, et ils engendrent les deux cercles qui servent de bases au solide. Ces bases sont perpendiculaires à l'axe.

• Un tronc de cylindre est la portion de cylindre comprise entre la base et une section non parallèle à cette base.

• Le cylindre de révolution est la limite du prisme régulier dans lequel le nombre de faces augmente indéfiniment et il peut lui-même être considéré comme un prisme régulier d'une infinité de faces.

Il suit de là que l'on peut appliquer au cylindre de révolution les propriétés du prisme régilier.

Par exemple : Toute section faite parallèlement aux bases d'un cylindre de révolution est un cercle égal à ces mêmes bases.

• En général, on appelle surface cylindrique toute surface engendrée par une droite indéfinie AE qui se ment dans l'espace, en restant toujours parallèle à elle-même.

Si la droite génératrice revient il sa position première AE, elle a engendré une surface cylindrique fermée.

On considère quelquefois la génératrice comme devant glisser le long d'une ligne donnée ACD, que l'on nomme directrice.

Un cylindre quelconque est le solide compris entre deux plans parallèles, et terminé latéralement par une surface cylindrique. On peut le considérer comme un prisme quelconque d'une infinité de faces.

Dans un cylindre quelconque, on nomme section droite toute section faite perpendiculairement à la génératrice.

• Si les génératrices d'un cylindre sont coupées par des plans parallèles, les sections obtenues sont égales entre elles.

Toutes les sections droites d'un cylindre sont égales entre elles.

Propositions

Théorème 1.
La surface latérale d'un cylindre droit égale la hauteur multipliée par la surface de la base.

Scolies.

1° En développant sur un plan la surface latérale d'un cylindre droit, on obtient un rectangle, qui a pour dimensions la hauteur du cylindre et la circonférence de la base.
2° Soit r le rayon d'un cylindre de révolution, et h sa hauteur : la surface latérale aura pour expression : 2rh, et la surface = 2r (h+r).

Théorème 2.
La surface latérale d'un cylindre quelconque égale le côté mutiplié par le contour d'une section droite.

Scolie.
Le développement de la surface latérale d'un cylindre quelconque, présente une forme analogue à celle que donne un prisme quelconque; mais les lignes brisées données par les périmètres des bases deviennent ici des lignes courbes, ABC, DEF, Le contour de la section droite devient une ligne droite GH perpendiculaire it la génératrice AF.

Théorème 3.
Dans un tronc de cylindre de révolution, la surface latérale est égale à l'axe multiplié par la circonférence de la base.

Scolie.
L'axe GI égale la demi-somme de deux génératrices diamétralement opposées.

Théorème 4.
Le volume du cylindre égale le produit de sa base par sa hauteur.

Scolies.

1°Le volume d'un cylindre de révolution a pour formule r²h.
2° Le volume d'un cylindre oblique égale la section droite multipliée par le côté du cylindre.
3° Soit B la base d'un cylindre oblique, S une section droite, h la hauteur, et l le côté; on a Bh = Sl; d'où P/S= l/h. Donc la base est à la section droite comme le côté est à la hauteur.
4° Deux cylindres quelconques sont entre eux comme les produits des bases par les hauteurs. Deux cylindres de même base sont entre eux comme les hauteurs et deux cylindres de même hauteur sont entre eux comme les bases.

Théorème 5.
Le volume d'un tronc de cylindre de révolution égale l'axe multiplié par la base.

Scolie.

1°Un cylindre de révolution EC peut être tronqué par les deux extrémités. Son volume égale la section droite AB multipliée par l'axe HK.
2° L'axe HK est égal à la demi-somme de deux génératrices diamétralement opposées.

Autres propriétés.
• Le volume d'un cylindre circulaire droit égale le produit de sa surface latérale par la moitié du rayon.

• Le volume d'un cylindre circulaire droit égale la surface du rectangle générateur multiplié par la circonférence décrite par le point de concours des diagonales de ce même rectangle.

• Dans un cylindre circulaire droit, la surface latérale est h la somme des bases comme la hauteur est au rayon.

• Dans un cylindre circulaire droit, la section faite suivant l'axe est à la base comme la hauteur est au quart de la circonférence du cylindre.

• Si la hauteur d'un cylindre égale le diamètre, le volume égale la surface totale multipliée par le tiers du rayon.

Dictionnaire Idées et méthodes