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Le groupe Bourbaki

Le groupe Bourbaki est un collectif de mathématiciens, principalement français, qui a cherché à présenter une exposition unifiée, rigoureuse et axiomatique des mathématiques. Leur influence sur la pensée mathématique et l'enseignement a été considérable, bien que controversée par moments. Leur oeuvre incipale, les Éléments de mathématique, est un effort ambitieux pour bâtir une "encyclopédie" moderne des mathématiques. Bien que les Éléments eux-mêmes n'aient pas été conçus comme des manuels scolaires, ils ont influencé considérablement le contenu et la méthode d'enseignement des mathématiques à l'université.

Le groupe Bourbaki existe toujours, même si son influence est peut-être moins dominante qu'auparavant. Il continue à se réunir et à publier des ouvrages, bien que à un rythme plus lent. L'héritage de ces mathématiciens reste néanmoins immense et a façonné en profondeur la façon dont les mathématiques sont perçues et enseignées.

L'histoire de Bourbaki commence au début des années 1930 dans un contexte de malaise au sein de la communauté mathématique française. Plusieurs facteurs ont contribué à sa formation :

• Insatisfaction avec l'enseignement. - De jeunes mathématiciens, dont Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsarte, Jean Dieudonné et André Weil, étaient frustrés par le manque de rigueur et d'unité dans l'enseignement supérieur français des mathématiques. Ils trouvaient que l'accent était mis sur des "trucs" et des "astuces" plutôt que sur les fondations logiques et les concepts unificateurs.
• Nécessité de renouveler les manuels. - Les manuels existants étaient souvent datés et ne reflétaient pas les avancées récentes dans des domaines comme la topologie, l'algèbre abstraite et l'analyse fonctionnelle.
• Préparation à l'agrégation. - Initialement, le groupe s'est réuni avec l'intention de préparer collectivement l'agrégation de mathématiques, un concours prestigieux pour devenir professeur. Cependant, leurs discussions ont rapidement dépassé le cadre de la simple préparation au concours.

Une anecdote célèbre raconte qu'André Weil, absent à l'une des premières réunions, s'est vu attribuer par ses camarades le pseudonyme de Nicolas Bourbaki (du nom d'un général qu'il s'était illustré dans la guerre de 1870), un étudiant étranger imaginaire qui devait présenter un exposé sur un théorème obscur. Ce nom est resté et a donné son identité au groupe, dont les membres travaillaient collectivement, sans jamais mentionner leurs noms individuels dans les publications. Les décisions étaient prises par consensus lors de réunions régulières.

Dès le début, le groupe s'est fixé des objectifs ambitieux :

• Rigueur absolue. - Adopter une approche strictement axiomatique, partant de définitions précises et dérivant les résultats par une logique impeccable.
• Unification des mathématiques. - Montrer les liens profonds entre les différentes branches des mathématiques en utilisant des concepts généraux et des structures fondamentales.
• Présentation exhaustive. - À terme, ils ambitionnaient de couvrir l'ensemble des mathématiques modernes dans une série de traités.

Leur méthode de travail était rigoureuse et intense. Les membres se réunissaient plusieurs fois par an, souvent dans des lieux isolés, pour discuter et rédiger collectivement les textes. Chaque proposition, définition ou démonstration devait passer par trois lectures rigoureuses par différents membres avant d'être validée. Les débats étaient souvent vifs et passionnés, chaque membre critiquant impitoyablement le travail des autres dans le but d'atteindre la perfection.

Les Éléments de mathématique.
L'oeuvre principale de Bourbaki est la série des Éléments de mathématique. Publiée à partir de 1939, elle a progressivement couvert les fondements des mathématiques. Il s'agit d'une oeuvre monumentale dont l'ambition est de fournir une base claire, cohérente et exhaustive pour toute la discipline, en s'appuyant sur la théorie des ensembles comme langage fondamental. Les Éléments avaient pour but d'être une référence ultime pour les mathématiciens, en fournissant un cadre théorique solide et universel.

Les Éléments sont structurés en fascicules (livres), chacun consacré à un domaine précis des mathématiques, tels que :

• La théorie des ensembles. - Le volume introduit les bases de la théorie des ensembles, qui sert de fondement à tous les autres développements mathématiques.
• L'algèbre. - Ce volume traite des structures algébriques fondamentales comme les groupes, les anneaux, les corps et les modules.
• La topologie générale. - Ce volume introduit les concepts de base de la topologie, notament les notions d'espaces topologiques et d'espaces métriques, ainsi que les notions de continuité et de compacité.
• Les fonctions d'une variable réelle. - Ce volume traite de l'analyse réelle, avec les notions de limites, de continuité, de dérivation et d''intégration.
• Les espaces vectoriels topologiques. - Ce volume traite des espaces vectoriels munis de topologies, avec des applications en analyse fonctionnelle.
• L'intégration. - La théorie de la mesure et de l'intégration.
• L'algèbre commutative. - L'étude des anneaux commutatifs.
• Les groupes et algèbres de Lie. - Des structures algébriques importantes en géométrie et physique.
• Les théories spectrales. - Des outils importants en analyse fonctionnelle.

Bourbaki utilise une approche fondée sur les axiomes, inspirée des travaux de David Hilbert et de Giuseppe Peano. Bourbaki a cherché à présenter les mathématiques comme une architecture logique auto-suffisante. Toute notion est définie de manière formelle avant d'être utilisée. Les concepts sont présentés dans leur forme la plus abstraite, afin d'englober un large éventail de cas particuliers. Cela a rendu l'oeuvre parfois réputée pour sa difficulté, mais aussi pour son élégance et sa puissance. Bourbaki y a introduit une terminologie et des notations standardisées qui ont eu une influence durable sur la communauté mathématique. Certains termes et symboles courants aujourd'hui (par exemple, le concept de filtre en topologie) proviennent de ce traité. Une idée centrale est que les mathématiques forment une structure unifiée, où les différents domaines interagissent harmonieusement.

Le style Bourbaki est précis, formel et abstrait, privilégiant les définitions rigoureuses et les démonstrations complètes. L'accent est mis sur les structures fondamentales (groupes, anneaux, espaces vectoriels, etc.) et les morphismes qui les relient. Il n'y a pas de figures et d'exemples "faciles", l'objectif étant la généralité et la rigueur.

L'approche Bourbaki a également suscité des critiques. Certains ont reproché au groupe un formalisme trop poussé, au détriment de l'intuition et des applications. D'autres ont critiqué le niveau d'abstraction élevé, rendant la compréhension difficile pour les étudiants. Certaines parties sont désormais considérées comme obsolètes ou dépassées par les développements modernes. Les mathématiques appliquées ou des domaines comme la théorie des catégories y sont peu abordés.. Le style uniforme et impersonnel a parfois été perçu comme intimidant.

Les membres clés.
Le groupe Bourbaki a toujours été un collectif avec un noyau fluctuant de membres. Parmi les figures les plus importantes, on peut citer :
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Les fondateurs

• Henri Cartan (1904-2008. - Fils du célèbre mathématicien Élie Cartan. Figure clé de Bourbaki, il a contribué de manière significative à la topologie algébrique, à la théorie des fonctions de plusieurs variables complexes et à la théorie du potentiel. Il a été un des principaux artisans de la structure et du style des Éléments de mathématique.

• Claude Chevalley (1909-1984). - Connu pour ses travaux en théorie des nombres, en théorie des groupes algébriques et en géométrie algébrique. Ses Groupes de Lie ont eu une influence majeure. Il a joué un rôle important dans les premières années de Bourbaki et a contribué à la définition de concepts fondamentaux.

• Jean Delsarte (1903-1968). - Ses travaux portaient sur l'analyse harmonique, la théorie des opérateurs et les équations différentielles. Il a été l'un des membres fondateurs et a contribué à l'établissement des premières fondations du groupe.

• Jean Dieudonné (1906-1992). - Extrêmement prolifique, il est connu pour son engagement envers Bourbaki et sa participation à la rédaction de nombreux chapitres des Éléments de mathématique. Ses domaines de prédilection étaient l'analyse fonctionnelle, la géométrie algébrique et l'histoire des mathématiques. Il était souvent perçu comme le porte-parole et l'historien de Bourbaki.

• André Weil (1906-1998). - Reconnu pour ses travaux fondamentaux en théorie des nombres, en géométrie algébrique et dans les liens entre les deux (conjectures de Weil). Il a été l'un des fondateurs et l'un des esprits moteurs de Bourbaki, Il a défini en grande partie l'ambition et la vision du groupe.

Une règle tacite était que les membres devaient quitter le groupe vers l'âge de 50 ans, laissant la place à de nouvelles générations de mathématiciens.

Autres membres importants

• Laurent Schwartz (1915-2002). - Lauréat de la médaille Fields pour son travail sur la théorie des distributions, un outil fondamental de l'analyse moderne. Bien qu'ayant rejoint Bourbaki un peu plus tard, il a eu une influence importante, notamment dans les volumes d'intégration.

• Samuel Eilenberg (1913-1998). - L'un des fondateurs de la théorie des catégories, un langage unificateur en mathématiques. Sa collaboration avec Saunders Mac Lane a donné naissance à la théorie des catégories. Il a apporté cette perspective catégorique à Bourbaki, ce qui a influencé la manière dont les mathématiques étaient présentées.

• Roger Godement (1921-2016). - Ses contributions principales concernent l'analyse harmonique, la théorie des groupes topologiques et la théorie des nombres. Il a été un membre actif de Bourbaki pendant de nombreuses années et a contribué à plusieurs volumes, notamment sur l'algèbre commutative.

• Pierre Cartier (né en 1932). - Ses intérêts sont vastes, allant de la théorie des nombres et la géométrie algébrique à la physique théorique. Il a rejoint Bourbaki plus tardivement, mais a contribué de manière significative, notamment en algèbre commutative et en théorie des groupes.

• Jean-Pierre Serre (né en 1926). - Lauréat de la médaille Fields, du prix Abel et du prix Steele. Ses contributions couvrent un large éventail de domaines, notamment la topologie algébrique, la géométrie algébrique, la théorie des nombres et la théorie des représentations. Il a été un membre très influent de Bourbaki, apportant une clarté et une rigueur exceptionnelles.

• Alexander Grothendieck (1928-2014) . - Révolutionnaire dans le domaine de la géométrie algébrique. Ses idées ont transformé cette discipline. Bien qu'ayant été un membre de Bourbaki, il s'en est progressivement distancé en raison de désaccords sur la direction prise par le groupe. Son influence reste immense.

Amir D. Aczel, Nicolas Bourbaki, histoire d'un génie des mathématiques qui n'a jamais existé, Lattès, 2009. - Le 10 décembre 1934 à midi, dans un café situé au 63 boulevard Saint-Germain à Paris, là où aujourd'hui est installé un fast-food, André Weil, l'un des plus talentueux mathématiciens de cette époque a rassemblé cinq collègues aussi passionnés que lui. A eux six, ils représentent les universités de Strasbourg, Nancy, Rennes et Clermont- Ferrand, à eux six, ils viennent de créer le groupe Nicolas Bourbaki dont les publications vont donner un formidable coup de modernité aux mathématiques et un immense élan à l'école française. C'est à peu près dix ans auparavant que Raoul Husson, élève à l'Ecole Normale Supérieure, invente le personnage de Nicolas Bourbaki en s'inspirant du grand Charles Bourbaki qui servit en Crimée, en Algérie, en Italie avant de devenir gouverneur militaire de Lyon. Le premier groupe de cette société secrète est composé outre d'André Weil, d'Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, René de Possel. La guerre les séparera. Dans les années quarante le groupe s'enrichira de l'arrivée de la future médaille Field, Laurent Schwartz et du génie Alexandre Grothendieck qui dans les années 1990 partit vivre en ermite dans les forêts pyrénéennes. Et aujourd'hui encore, bien que moins rayonnant, le groupe continue à se réunir avec de nouveaux membres. Bourbaki n'a pas seulement fait progresser les mathématiques mais a aidé Lévi-Strauss à formaliser le structuralisme et a même inspiré les membres de l'Oulipo dans leur recherche. Voici son étonnante et passionnante histoire. (couv.).

Dictionnaire biographique