Élie Cartan et Henri Cartan

Issu d'une famille modeste (son père était forgeron), le jeune Élie montre très tôt des aptitudes exceptionnelles pour les études. Son instituteur remarque son talent et encourage ses parents à le laisser poursuivre ses études. Grâce à une bourse, il entre au lycée de Grenoble, où il excelle en mathématiques. En 1888, il est admis à l'École Normale Supérieure à Paris. Là, il eut comme professeurs des figures éminentes telles que Charles Hermite et Jules Tannery. Cartan obtient l'agrégation de mathématiques en 1891, se classant premier. Il continue ses études à la Faculté des Sciences de Paris, obtenant son doctorat en 1894 avec une thèse intitulée Sur la structure des groupes de transformations finis et continus. Cette thèse, supervisée par Sophus Lie (dont il s'inspire largement), pose les bases de sa future oeuvre sur les groupes de Lie.

Après son doctorat, Cartan entame une brillante carrière académique. De    1894 à 1896, il est maître de conférences à l'Université de Montpellier. Entre 1896 et 1903, il est maître de conférences à la Faculté des Sciences de Lyon. Durant cette période, il continue à développer ses recherches sur les groupes de Lie et commence à s'intéresser à la géométrie différentielle. En 1903, il est nommé professeur à la Faculté des Sciences de Nancy, puis, à partir de 1909, il est professeur à la Faculté des Sciences de Paris et à l'École Polytechnique. Cette période est la plus féconde de sa carrière. Il y développe ses travaux les plus importants, notamment sa théorie des repères mobiles (méthode de repérage intrinsèque des objets géométriques), le calcul différentiel extérieur (un outil puissant pour l'étude des variétés différentielles) et ses contributions fondamentales à la classification et à la représentation des groupes de Lie et des algèbres de Lie. Cartan prend sa retraite en 1940, mais reste actif dans la recherche jusqu'à sa mort en ans plus tard. 

Les contributions de Cartan aux mathématiques sont vastes et profondes. Parmi les plus notables, on peut citer :

• Théorie des groupes de Lie. - Cartan a apporté des contributions fondamentales à la classification des groupes de Lie simples et à leur théorie des représentations. Son travail a permis de comprendre la structure intrinsèque de ces objets mathématiques essentiels, qui apparaissent dans de nombreux domaines, de la physique à la cryptographie.

• Géométrie différentielle. - Il a développé la méthode des repères mobiles, une technique puissante pour étudier les propriétés géométriques des courbes, des surfaces et des variétés de dimension supérieure. Il a également introduit le calcul différentiel extérieur, qui est devenu un outil incontournable en géométrie différentielle et en topologie différentielle.

• Espaces symétriques. - Cartan a classifié les espaces riemanniens symétriques, une classe importante de variétés avec une grande quantité de symétries. Ces espaces jouent un rôle important en géométrie, en théorie des nombres et en physique théorique.

• Connexions et courbures. - Ses travaux sur les connexions en géométrie différentielle ont généralisé la notion de connexion de Levi-Civita et ont jeté les bases de la théorie des fibrés principaux.

• Applications à la physique. - Cartan fut l'un des premiers mathématiciens à reconnaître le potentiel des groupes de Lie pour la physique. Ses travaux ont eu une influence importante sur le développement de la relativité générale d'Einstein et de la mécanique quantique. Il a notamment contribué à l'étude des spineurs et de leurs applications en physique.

Henri Cartan grandit dans un environnement intellectuellement stimulant. Son père, Élie Cartan, était un mathématicien de renommée mondiale. Il montre très tôt des aptitudes exceptionnelles pour les mathématiques. Après ses études secondaires au Lycée Hoche à Versailles, il intègre l'École Normale Supérieure (ENS) en 1923. Il y côtoie d'autres futurs grands noms des mathématiques françaises comme Jean Leray et André Weil. À l'ENS, il est influencé par les cours de son père et par la pensée mathématique de son époque, notamment les travaux sur la topologie et l'analyse. Il obtient son agrégation de sciences mathématiques en 1926.

Après son service militaire, Cartan commence sa carrière universitaire. Il enseigne successivement à la Faculté des Sciences de Lille (1928-1931) et à la Faculté des Sciences de Strasbourg (1931-1940). Durant cette période, il réalise ses premiers travaux importants, notamment sur la théorie du potentiel et les fonctions analytiques de plusieurs variables complexes. Ses recherches à Strasbourg sont interrompues par la Seconde Guerre mondiale. Durant l'Occupation, Henri Cartan s'engage activement dans la Résistance. Il utilise ses compétences en cryptographie pour aider à déchiffrer des messages allemands. Après la guerre, il rejoint la Faculté des Sciences de Paris en 1945, où il restera jusqu'à sa retraite en 1975. C'est durant cette période qu'il établit le célèbre Séminaire Henri Cartan, qui deviendra un centre d'innovation et d'échange pour les mathématiciens du monde entier.

Le Séminaire Cartan, qui s'est tenu de 1948 à 1964, a joué un rôle déterminant dans le développement de la topologie algébrique et de la théorie des faisceaux. Cartan y a exposé et développé ses propres idées novatrices, mais a également encouragé la participation et les contributions de jeunes mathématiciens talentueux, comme Jean-Pierre Serre, Armand Borel, et Alexander Grothendieck. Le séminaire était réputé pour sa rigueur, sa clarté et son influence. Les notes de cours du séminaire, publiées régulièrement, sont devenues des références fondamentales pour les générations suivantes de mathématiciens.

Parmi les plus importantes contributions d'Henri Cartan aux mathématiques, on peut citer :

• La théorie des espaces analytiques complexes. - Cartan a posé les bases rigoureuses de l'étude des espaces définis par des équations analytiques complexes. Il a notamment démontré des théorèmes fondamentaux sur la cohérence des faisceaux d'idéaux dans ces espaces.

• L'introduction et le développement de la théorie des faisceaux. - Bien que le concept de faisceau existât déjà, Cartan a joué un rôle clé dans son développement et son application systématique à divers domaines des mathématiques, notamment la topologie algébrique et l'analyse complexe. La théorie des faisceaux est devenue un outil puissant et unifiant.

• Les groupes d'Eilenberg-MacLane et la cohomologie des espaces topologiques. - Cartan a contribué de manière significative à la compréhension de la structure algébrique des espaces topologiques, notamment en travaillant sur les groupes d'homotopie et les théories cohomologiques.

• Le théorème B et le théorème d'Oka-Cartan. - Ces théorèmes fondamentaux de l'analyse complexe à plusieurs variables établissent des liens profonds entre les fonctions holomorphes et la géométrie des domaines complexes. Le théorème d'Oka-Cartan, en particulier, est un résultat majeur qui a unifié plusieurs aspects de la théorie.