Les mathématiques grecques.

-

[Antiquité > Grèce] / Mathématiques / [ Regards en arrière > Histoire des mathématiques]

L'histoire des mathématiques
Les mathématiques grecques

Les mathématiques grecques anciennes représentent une étape fondamentale dans l'histoire de la pensée humaine, marquant la transition d'une approche empirique et pratique des mathématiques, comme on la trouvait chez les Égyptiens et les Babyloniens, vers une discipline fondée sur la logique, la démonstration et la recherche de vérités universelles. Ce développement s'étend sur près d'un millénaire, du VI^e siècle avant notre ère au V^e siècle ap. JC, et s'inscrit dans un contexte culturel, philosophique et scientifique particulièrement fertile. À travers des figures comme Thalès, Pythagore, Euclide, Archimède et Apollonius, les mathématiques grecques ont établi le modèle de la démonstration rigoureuse, fondé sur des axiomes et des règles logiques, qui reste le socle des mathématiques modernes.

Transmises par les Byzantins, traduites en arabe dès le IX^e siècle, puis en latin à partir du XII^e siècle, elles ont irrigué la pensée scientifique médiévale et moderne. Les grandes figures de la Renaissance et de la révolution scientifique – Copernic, Kepler, Galilée, Descartes, Newton – s'appuient directement sur les oeuvres d'Euclide, d'Archimède et d'Apollonius. Même les géométries non euclidiennes du XIX^esiècle, qui remettent en question le postulat des parallèles, naissent d'un dialogue critique avec l'héritage grec.

Les origines : la naissance de la pensée mathématique rationnelle

Thalès de Milet.
Le mouvement commence au VI^e siècle en Ionie, sur la côte ouest de l'actuelle Turquie, où les premiers penseurs grecs cherchent à comprendre le monde non plus par la mythologie, mais par la raison. C'est dans ce cadre que Thalès de Milet (vers 625–547 av. JC) , considéré comme le premier mathématicien de l'histoire, établit les bases d'un raisonnement déductif. Il aurait démontré plusieurs propriétés géométriques, comme le fait qu'un diamètre divise un cercle en deux parties égales, ou que les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux. Son approche repose sur l'idée que certaines vérités peuvent être établies non par l'observation, mais par la déduction à partir de principes simples. Cette innovation marque la naissance de la géométrie théorique.

Pythagore de Samos.
Peu après, Pythagore de Samos (vers 570–495 av. JC) fonde une communauté secrète à Crotone, en Italie du Sud, qui mêle philosophie, religion et mathématiques. Pour les pythagoriciens, le nombre est le principe fondamental de l'univers : « tout est nombre ». L'univers est régi par des rapports numériques. Ils étudient ainsi les rapports numériques dans la musique (les intervalles harmonieux, disent-ils, correspondent à des rapports simples, comme 2:1 pour l'octave, 3:2 pour la quinte…), la géométrie et l'astronomie. Ils développent la théorie des nombres : nombres pairs/impairs, nombres parfaits, nombres figurés (triangulaires, carrés, etc.). Le théorème qui porte le nom de Pythagore, selon lequel le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, est connu bien avant lui, mais c'est probablement dans son école que ce résultat aurait été démontré pour la première fois. On doit aussi aux pythagoriciens la découverte que la diagonale d'un carré de côté 1 ne peut s'exprimer comme un rapport de deux entiers – c'est-à-dire que √2 est irrationnel. Cette conclusion provoque une crise profonde dans la pensée pythagoricienne, car elle remet en cause leur croyance que tout phénomène peut être exprimé par des rapports rationnels. Cette crise conduit à une réorientation de la pensée mathématique, vers une géométrie qui peut traiter des grandeurs incommensurables.

L'âge classique : la formalisation de la géométrie

Hippocrate de Chios.
Au V^e siècle avant notre ère, la géométrie se développe avec des figures comme Hippocrate de Chios (vers 470–410 av. JC) , qui rédige un des premiers traités systématiques de géométrie, perdu mais cité par la suite. Utilisant systématiquent de la démonstration, il travaille notamment sur la quadrature des lunules, des figures en forme de croissant, dans le cadre des tentatives de résolution de la quadrature du cercle.

Platon.
À la même époque, Platon (427–347 av. JC) joue un rôle central dans la promotion des mathématiques. À l'entrée de son Académie, l'inscription « Que nul n'entre ici s'il n'est géomètre » souligne l'importance qu'il accorde à la discipline comme voie vers la connaissance véritable. Pour lui, les objets mathématiques appartiennent à un monde idéal, distinct du monde sensible, et leur étude purifie l'âme. Il s'intéresse particulièrement aux polyèdres réguliers (tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre, icosaèdre), qu'il associe aux éléments de la nature 'le feu, la terre, l'air, l'eau, et l'univers).

Eudoxe de Cnide.
C'est au IV^e siècle que naît une des avancées les plus importantes : la théorie des proportions d'Eudoxe de Cnide (vers 408–355 av. JC). Ce mathématicien et astronome parvient à formuler une définition rigoureuse de l'égalité de rapports, même entre grandeurs incommensurables, ce qui permet de traiter les irrationnels sans recourir aux nombres rationnels. Ce système, repris plus tard par Euclide dans le Livre V des Éléments, devient un pilier de la géométrie grecque. Eudoxe développe aussi la méthode d'exhaustion, une technique qui permet d'approcher l'aire ou le volume d'une figure courbe en l'inscrivant et en la circonscrivant par des polygones ou des polyèdres. Cette méthode, qui repose sur un raisonnement par l'absurde, sera utilisée plus tard par Archimède pour calculer l'aire du cercle et est un ancêtre direct du calcul intégral.

Le sommet : Euclide, Archimède et Apollonius

Euclide.
Le III^e siècle avant notre ère marque l'apogée des mathématiques grecques, avec la floraison d'Alexandrie, centre intellectuel majeur du monde hellénistique. C'est là qu'Euclide (vers 300 av. JC) rédige les Éléments, un ouvrage qui restera la référence en matière de rigueur mathématique pendant plus de deux mille ans. Contenu :

• Livres I–VI . - Géométrie plane.
• Livres VII–IX. - Arithmétique (nombres, divisibilité, nombres premiers).
• Livre X. - Classification des grandeurs irrationnelles.
• Livres XI–XIII. - Géométrie dans l'espace, finissant par la construction des cinq solides réguliers.

Euclide organise ainsi de façon systématique les différentes branches des mathématiques en partant de définitions, de postulats et d'axiomes pour en déduire logiquement des théorèmes. La structure déductive des Éléments devient le modèle de la science démonstrative (définitions, postulats, axiomes, théorèmes, démonstrations.). En particulier, le cinquième postulat, dit des parallèles, suscitera des débats pendant des siècles et mènera bien plus tard à la découverte des géométries non euclidiennes.

Archimède.
À la même époque, Archimède de Syracuse (287–212 av. JC) incarne le génie mathématique dans sa forme la plus complète. Il combine une intuition géométrique exceptionnelle avec une rigueur sans faille. Il utilise des lettres grecques pour noter les nombres, mais développe aussi un système pour écrire de très grands nombres (L'Arénaire). Il utilise la méthode d'exhaustion pour calculer l'aire du cercle, démontrant que celle-ci est égale à π fois le carré du rayon, et donne une estimation remarquablement précise de π (entre 3,1408 et 3,1429). en encadrant le cercle par des polygones réguliers à 96 côtés. Il découvre les relations entre la sphère et le cylindre : le volume de la sphère est deux tiers de celui du cylindre circonscrit, et sa surface est égale à celle du cylindre. Il étudie aussi les spirales, les paraboloïdes, et développe des méthodes proches du calcul infinitésimal, en sommant des quantités infiniment petites. Outre ses travaux théoriques, il s'intéresse à la mécanique (« Donnez-moi un point d'appui, et je soulèverai le monde »), à l'hydrostatique (principe d'Archimède), et conçoit des machines de guerre. Sa mort, lors de la prise de Syracuse par les Romains, symbolise la fin d'une ère.

Apollonius de Perga.
Un peu plus tard, Apollonius de Perga (vers 262–190 av. JC) rédige Coniques, un traité monumental sur les sections coniques auxquelles il donne leur nom (ellipse, parabole et hyperbole). Il y développe une étude approfondie de leurs propriétés géométriques, introduit des notions comme les asymptotes, et utilise des méthodes qui anticipent la géométrie analytique. Bien que purement géométriques, ses travaux, redécouverts au XVII^e siècle, seront essentiels pour Kepler et Newton dans l'étude des orbites planétaires.

La période hellénistique tardive et byzantine

Après cette période brillante, les mathématiques grecques entrent dans une phase de synthèse et de transmission (

L'école mathématique d'Alexandrie, I^er siècle av. JC – V^e siècle ap. JC) .

Héron.
À Alexandrie, Héron d'Alexandrie (I^er siècle après JC) développe des formules pratiques, comme celle qui porte son nom pour l'aire d'un triangle en fonction de ses côtés, et utilise des méthodes numériques et approximatives, moins rigoureuses que ses prédécesseurs. Il s'intéresse aussi à l'ingéniérie et écrit des traités techniques sur les machines, la pneumique, la mécanique.

Ménélaüs. Ptolémée.
Ménélaüs (I^er siècle après JC) est l' auteur de Sphériques, fondement de la trigonométrie sphérique, essentielle en astronomie. Ptolémée (vers 90–168 ap. JC) , dans l'Almageste, compile un modèle géocentrique du Système solaire en utilisant la géométrie pour modéliser les mouvements des planètes (épicycles, déférents), et établit des tables trigonométriques basées sur la corde du cercle, préfigurant les fonctions sinus.

Diophante.
Au III^e siècle de notre ère, Diophante d'Alexandrie (vers 200–284 ap. JC) marque un tournant avec ses Arithmétiques, un ouvrage consacré aux équations à solutions entières ou rationnelles, aujourd'hui appelées équations diophantiennes. Il utilise des abréviations symboliques pour désigner l'inconnue et ses puissances, ce qui en fait un précurseur de l'algèbre symbolique. Son oeuvre, redécouverte au XVII^e siècle, inspire Fermat, qui formule sa célèbre conjecture en marge d'une copie de Diophante.

Pappus.
Pappus d'Alexandrie (vers 290–350 ap. JC) , rédige la Collection mathématique, une vaste synthèse des connaissances antérieures. Il y expose des théorèmes importants, comme le théorème de Pappus en géométrie projective, et préserve de nombreux résultats perdus par ses citations.

Proclus.
Proclus (412–485 ap. JC), philosophe néoplatonicien, écrit un commentaire détaillé sur le premier livre des Éléments d'Euclide, fournissant des informations précieuses sur l'histoire des mathématiques anciennes.