Les précurseurs de l'analyse

Archimède.
Archimède (287-212 av. JC) est l'un des premiers à utiliser des méthodes précurseurs de l'analyse pour trouver des aires et des volumes de figures géométriques. Il employait des méthodes d'approximations et des limites, en particulier pour le calcul de l'aire sous une courbe et des volumes de solides de révolution.

Le Moyen Âge et la Renaissance.
Al-Khwarizmi.
Bien que plus connu pour ses contributions à l'algèbre, Al-Khwarizmi  (IX^e siècle) a aussi posé des bases pour le développement des méthodes analytiques en résolvant des équations quadratiques et en utilisant des approches algébriques pour les problèmes de géométrie.

Isaac Barrow et John Wallis.
Isaac Barrow (1630-1677) et John Wallis (1616-1703) ont fait des progrès significatifs dans l'étude des séries infinies et des méthodes de calcul intégral. Wallis, par exemple, a développé des séries pour les fonctions trigonométriques et a introduit le concept de produit infini.

Les XVII^e et XVIII^e et XIX^e siècles

La formalisation et les extensions de l'analyse.
Euler.
Leonhard Euler (1707-1783) a grandement contribué à la formalisation de l'analyse en développant des séries infinies, des fonctions transcendantes (comme les fonctions exponentielles et trigonométriques), et la théorie des fonctions complexes. Son travail sur les séries infinies, les équations différentielles et les fonctions analytiques est fondamental pour l'analyse moderne.

Lagrange.
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) a introduit la notion de fonction et a développé la théorie des équations différentielles, en particulier la méthode de variation des constantes. Il a également contribué à la théorie des séries et à l'analyse numérique.

La rigueur et les premières théories avancées au XIX^e siècle

Cauchy.
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) a introduit introduit des concepts fondamentaux comme la limite (en utilisant des séquences et des séries), la continuité, la différentiabilité, et a clarifié les notions de convergence pour les séries et les intégrales. Son approche rigoureuse a jeté les bases de l'analyse moderne.

Weierstrass.
Karl Weierstrass (1815-1897) a continué le travail de Cauchy en introduisant des concepts tels que la fonction continue mais non différentiable, et a affiné la définition des notions de limite et de continuité. Sa méthode a permis une définition plus rigoureuse des fonctions analytiques et a contribué à la formalisation du calcul différentiel et intégral.

Abel et Galois.
Bien que plus connus pour leurs contributions à la théorie des groupes et des équations algébriques, les travaux de Niels Henrik Abel (1802-1829) et Évariste Galois (1811-1832) ont également eu un impact sur l'analyse, notamment dans la résolution des équations polynomiales et les méthodes de calcul associées.

Depuis 1900

Lebesgue.
Henri Lebesgue (1875-1941) a développé la mesure de Lebesgue et l'intégrale de Lebesgue, qui permettent une généralisation des concepts d'intégration et permettent de traiter des fonctions plus générales que celles qui sont intégrables au sens de Riemann. Ces concepts ont permis des avancées majeures dans la théorie de la mesure et l'analyse.

Serre.
Jean-Pierre Serre (né en 1926) a contribué à l'analyse en introduisant des concepts avancés en topologie et en géométrie algébrique, impactant ainsi les méthodes analytiques.

Les théories modernes et les applications
Von Neumann.
John von Neumann (1903-1957)  a apporté des contributions significatives à l'analyse, en particulier à travers ses travaux sur les espaces fonctionnels et la théorie des jeux. Ses contributions à la mécanique quantique reposent sur une solide base d'analyse fonctionnelle.

Grothendieck.
Alexander Grothendieck (1928-2014) a révolutionné la géométrie algébrique avec ses travaux sur les schémas et les foncteurs, et a introduit de nouveaux outils analytiques comme la cohomologie et les catégories abéliennes, ayant un impact profond sur l'analyse moderne.

Weil.
André Weil (1906-1998) a contribué à l'analyse en développant la théorie des nombres et en travaillant sur les formes modulaires, des sujets qui sont maintenant liés à des applications analytiques et arithmétiques profondes.

Analyse contemporaine et applications interdisciplinaires.
Analyse non standard.
Développée par Abraham Robinson dans les années 1960, l'analyse non standard introduit les nombres infiniment petits et grands, offrant une perspective alternative et enrichissante sur les concepts d'analyse classique.

Analyse numérique et informatique.
L'analyse numérique est devenue une discipline essentielle pour les applications pratiques des mathématiques. Les méthodes numériques pour résoudre des équations différentielles, optimiser des fonctions, et traiter des problèmes d'analyse sont largement utilisées en ingénierie, en physique, et en sciences informatiques.

Applications en machine learning et intelligence artificielle.
L'analyse contemporaine, en particulier l'analyse fonctionnelle et la théorie des probabilités, joue un rôle crucial dans le développement d'algorithmes pour le machine learning et l'intelligence artificielle, avec des techniques telles que les réseaux de neurones et les méthodes de régularisation.