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L'histoire des mathématiques
Les mathématiques indiennes
Bien que le rôle joué par les mathématiques indiennes dans le développement des mathématiques arabes soit bien connu, leur évaluation, l'appréciation de leur mérite ou de leur originalité, reste difficile, tant par la difficulté de dater presque toute la littérature indienne que par la forme même prise par les textes mathématiques. Ceux-ci sont écrits en vers et mélangent souvent confusément les questions astronomiques, astrologiques et mystiques. Les démonstrations sont absentes et seuls des exemples numériques semblent en tenir lieu. L'algèbre des Indiens est généralement rhétorique, c'est-à-dire sans symboles ni abréviations, même si dans les œuvres plus récentes certaines symboliques et l'usage d'initiales font leur apparition, qui lui donnent l'aspect d'une algèbre syncopée (étape intermédiaire entre la rhétorique algébrique et le symbolique actuel). 

Les connaissances les plus anciennes attribuées aux mathématiciens indiens concernent la géométrie. Elles s'insèrent dans des préoccupations d'ordre cultuel (comment construire un temple, un autel?) et débouchent sur l'énoncé de règles pour la construction de carrés et de rectangles. Mais leurs contributions les plus importantes concernent l'arithmétique, l'algèbre et la trigonométrie. C'est ce que l'on observera entre le  IVe et le XIIe siècles de notre ère. Au début de cette période, plutôt tournée vers l'astronomie, l'influence grecque est discernable. Mais l'émancipation est rapide et de nouveaux concepts sont développés. Les grandes innovations, que les Arabes sauront faire fructifier, seront sans doute ici le système de numération positionnelle de base dix et l'invention des fonctions trigonométriques.

Le principe de la représentation décimale des nombres s'est répandu rapidement. Un manuscrit écrit en Syrie en 662 traite de la nouvelle méthode de calcul, et il existe des preuves que le système décimal a été utilisé au Cambodge et dans d'autres pays asiatiques peu de temps après. Au IXe siècle, le système décimal était d'usage courant dans le monde arabo-musulman, et de là il sera rapidement transmis à l'Europe latine. 
Parmi les autres innovations que présentent les mathématiques indiennes, mentionnons l'emploi de syllabes différentes pour indiquer différentes inconnues (procédé que ne connaissait pas Diophante) et la distinction entre nombres positifs et négatifs, qui étaient interprétés comme des crédits et des débits et qui étaient différenciés symboliquement.

Les mathématiciens indiens ont également clarifié les règles standard des exposants et manipulé les exposants d'une manière qui suggère aujourd'hui qu'ils étaient également familiers avec les principes de base des logarithmes. 

Au XIVe siècle, Mhadava de Sangamagramma  a fait des progrès significatifs dans l'analyse. Il a produit les développements en série infinie des fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses (aujourd'hui série de Taylor), a découvert le Théorème binomial et a même produit la série de Gregory, qu'il a utilisée pour approximer la valeur de  avec une très grande précision.

Parmi les mathématiciens indiens les plus influents au Moyen âge, il convient de citer Aryabhatta, Brahmagupta et Bhâskara.

Aryabhatta.
Aryabhatta  (né en 476)  a dirigé un premier centre de recherches à Kusumapura dans le nord-est du sous-continent indien. Il traitait des questions d'arithmétique et surtout d'"analyse indéterminée" dans un sens différent de celui de Diophante et plus proche de celui actuel. On lui doit aussi l'introduction des sinus, qui remplacent avantageusement les cordes utilisées par les Grecs.

Il est fréquemment cité par Brahmagupta et suivant l'opinion de bien des commentateurs il créa l'analyse algébrique bien qu'on ait suggéré qu'il ait pu avoir connaissance de l'arithmétique de Diophante. Le principal ouvrage d'Aryabhata parvenu jusqu'à nous est son Aryabhathiya qui consiste en un recueil de vers mnémoniques renfermant l'énoncé de règles et de propositions diverses. Il n'y a pas de démonstrations et le langage présente une telle obscurité et une telle concision qu'on est resté fort longtemps avant de pouvoir le traduire.

L'ouvrage est divisé en quatre parties dont trois sont consacrées à l'astronomie et aux éléments de la trigonométrie sphérique; la partie restante contient les énoncés de trente-trois règles d'arithmétique, d'algèbre et de trigonométrie plane. Il est probable qu'Aryabhata, de même que Brahmagupta et Bhaskara dont nous parlons plus bas, s'occupait surtout d'astronomie, et qu'il n'étudia les mathématiques qu'autant qu'elles pouvaient lui servir dans ses recherches.

En algèbre Aryabhata donne les formules de la somme des premiers nombres, de leurs carrés et de leurs cubes; la solution générale d'une équation du second degré; et la solution en nombres entiers de certaines équations indéterminées du premier degré. D'après ses solutions des équations numériques on a supposé qu'il connaissait le système de numération décimale.

En trigonométrie il donne une table des sinus naturels des angles de 3,75° en 3,75° (3° 3/4) compris dans le premier quadrant, le sinus étant défini comme la moitié de la corde de l'arc double. En supposant que pour l'angle de 3,75° le sinus est égal à la mesure de l'angle, il prend pour sa valeur 225, c'est-à-dire le nombre de minutes compris dans l'angle. Il énonce ensuite une règle qui est presque incompréhensible mais qui revient probablement à la formule :

sin (n+1) a - sin na = sin na - sin (n - 1)a - sin na cosec a, dans laquelle a serait égal à 3° 3/4; en partant de cette formule, il construit une table de sinus et trouve finalement 3438 pour la valeur du sinus de 90°. Ce résultat est exact si l'on suppose  = 3,1416 et il est intéressant de constater que c'est là la valeur qu'il assigne à  dans une autre partie de l'ouvrage. La formule trigonométrique exacte est :

sin (n + 1) a - sin na = sin na - sin (n - 1) a - 4 sin na sin² 1/2 a 
par conséquent Aryabhata faisait 4 sin² 1/2 a égal à cosec a, c'est-à-dire qu'il supposait 2 sin a = 1 + sin 2a; en employant les valeurs approchées de sin 2a données dans sa table, cette égalité revient à 2 (225) = 1 + 449.

Sa formule est donc exacte avec l'approximation résultant de l'hypothèse d'où il est parti. Un grand nombre des propositions géométriques qu'il énonce sont fausses.

Brahmagupta.
Un deuxième centre existait aussi à Ujjain, également dans le nord. Il a d'abord été dirigé par  le mathématicien Varahamihira, qui a également contribué à l'astronomie et à la trigonométrie, et fut bientôt remplacé, au VIIe siècle par Brahmagupta, l'auteur d'un traité très important intitulé Brahmasphutasiddhânta ( = L'ouverture de l'univers) ou simplement Siddhânta.Dans ce livre, deux chapitres sont consacrés à l'arithmétique, l'algèbre et la géométrie.

L'arithmétique est sans aucun symbolisme, si l'on excepte celui des chiffres. Et de ce point de vue, l'ouvrage est important car Brahmagupta y introduisit et expliqua l'arithmétique des nombres non positifs et fut le premier mathématicien de l'histoire à donner à zéro le statut d'un nombre, le définissant comme le résultat de la soustraction d'une quantité à elle-même (il utilise le zéro, non seulement comme chiffre numérique, mais aussi comme symbole opératoire).  La plupart des problèmes arithmétiques sont traités par la règle de trois et un grand nombre roulent sur des questions d'intérêt.

Dans son algèbre, qui est également sans symbolisme, il étudie les propositions fondamentales des progressions arithmétiques et résout une équation du second degré (mais il ne donne que la valeur positive du radical). 

Comme exemple des problèmes qu'il traite, nous pouvons citer le suivant qui a été reproduit sous des formes légèrement différentes par divers auteurs, mais nous remplaçons les nombres par des lettres.

« Deux ascètes vivent au sommet d'un rocher de hauteur h dont la base est à une distance mh du village le plus voisin. L'un se rend au village en descendant la montagne, l'autre monte jusqu'à une hauteur x, puis se dirige directement sur le village. Trouver x sachant que tous les cieux ont parcouru la même distance. »
Brahmagupta donne la réponse correcte x = mh (m+2) . Dans la question telle qu'il l'énonçait h = 100 et m = 2.

Brahmagupta. trouva les solutions en nombres entiers de plusieurs équations indéterminées du premier degré par une méthode semblable à celle qui est encore en usage aujourd'hui. 

Il a fait connaître une équation indéterminée du second degré nx² -1 = y² et donné comme solutions x =  2t/(t²-n) et y = (t²+n)/(t²-n). Il a prouvé que cette solution générale se déduit d'une solution particulière de l'équation donnée ou d'une autre qui en dépend, mais il n'a pas dit comment il obtenait une solution particulière.

Ce qui est assez curieux c'est que cette équation fut proposée en défi, au XVIIe siècle par Fermat à Wallis et à Brouncker; ce dernier trouva les mêmes solutions que Brahmagupta. Brahmagupta a encore démontré que l'équation y² =  nx²-1 ne peut être satisfaite par des valeurs entières de x et de y que si n est exprimable par la somme des carrés de deux entiers.

Il est peut être bon d'observer que les premiers algébristes Grecs, Indiens, Arabes ou Italiens ne faisaient aucune distinction entre les problèmes qui conduisaient à des équations déterminées et ceux qui conduisaient à des équations indéterminées. Ce n'est qu'après l'introduction de l'algèbre syncopée que des tentatives ont été faites pour donner les solutions générales des équations et la difficulté de les obtenir pour les équations indéterminées autres que celles du premier degré avait conduit à les exclure en pratique de l'algèbre élémentaire.

En, géométrie Brahmagupta démontra le théorème de Pythagore concernant le triangle rectangle (Euclide I. 47). Il donna des expressions pour calculer les aires d'un triangle et d'un quadrilatère inscriptible en fonction de leurs côtés, et montra que la surface du cercle est égale à celle d'un rectangle ayant pour côtés le rayon et le demi-périmètre. Il fut moins heureux dans ses essais de rectification du cercle, et le résultat qu'il donne revient à prendre la racine carrée de 10 pour la valeur de . Il détermina également la surface et le volume de la pyramide et du cône, questions traitées d'une façon incorrecte par Aryabhata. On lui doit encore des techniques d'interpolation sophistiquées pour le calcul des valeurs de sinus en trigonométrie. Le reste de sa géométrie est assez confuse; mais il semble que l'on se trouve en présence d'essais faits pour trouver les expressions de plusieurs éléments d'un quadrilatère inscrit en fonction des côtés; la plupart des résultats énoncés sont faux. 

Il ne faudrait pas croire que dans l'ouvrage original toutes les propositions se rapportant à un même sujet soient réunies pour former un ensemble, et ce n'est que pour la commodité de notre, exposition que nous avons essayé de les disposer ainsi. Il est impossible de dire si tous les résultats de Brahmagupta, que nous venons de résumer, lui sont bien dus, Il avait connaissance de l'ouvrage d'Aryabhata, car il reproduit la table des sinus que l'on y trouve; il est également vraisemblable que les successeurs immédiats d'Aryabhata avaient fait quelques progrès en mathématiques et que leurs travaux n'étaient pas inconnus à Brahmagupta; mais nous n'avons aucune raison de douter que l'ensemble de son arithmétique et de son algèbre ne lui appartienne en propre, bien qu'il ait peut-être subi l'influence des écrits de Diophante. La contribution qu'il a apportée à la géométrie est plus douteuse, quelques parties ont été probablement empruntées aux ouvrages de Héron.

Bhâskara.
Au cours des 200 années suivantes, les érudits indiens ont travaillé à affiner de nouvelles méthodes de trigonométrie et des techniques de calcul astronomique. Le mathématicien Bhâskara (né en 1114) fait des progrès dans la théorie des nombres, l'algèbre, la combinatoire et l'astronomie. Il a écrit un texte complet résumant l'état des mathématiques et de l'astronomie en Inde à son époque. Peu de temps après Bhaskara, d'autres érudits indiens approfondiront ces idées. 

Bhâskara composa une astronomie dont quatre chapitres ont été traduits. L'un, intitulé Lîlâvatî est relatif à l'arithmétique, un second avec le titre de Bija-Ganita traite de l'algèbre; le troisième et le quatrième sont consacrés à l'astronomie et à la sphère; quelques-uns des autres chapitres concernent également les mathématiques. Nous pensons que les Arabes eurent connaissance de cet ouvrage presque aussitôt qu'il fut composé et son influence se fit sentir sur leurs écrits ultérieurs bien qu'ils n'aient su ni utiliser, ni développer beaucoup de vues nouvelles qui s'y trouvaient. Cet ouvrage fut connu d'une façon indirecte, en Occident, avant la fin du XIIe siècle, mais le texte lui-même ne pénétra en Europe qu'à une époque plus récente.

Le traité est en vers, mais contient des notes explicatives en prose. On ne peut dire si l'ouvrage est vraiment original, ou s'il n'est qu'une simple exposition de ce qu'on connaissait alors en Inde; mais, dans tous les cas, il est plus que probable que Bhâskara avait lu les ouvrages arabes écrits aux Xe et XIe siècles et qu'il n'ignorait pas les résultats des travaux des mathématiciens grecs, tels qu'ils avaient été transmis par les sources arabes. L'algèbre est syncopée et presque symbolique ce qui marque un grand progrès sur celles de Brahmagupta et des Arabes. La géométrie est également supérieure à celle de Brahmagupta, mais cela provient peut être, de ce que, grâce aux Arabes, il pouvait connaître les divers ouvrages grecs.

Le premier livre ou Lîlâvatî débute par une invocation au dieu de la sagesse. La disposition générale de l'ouvrage se comprendra par la table suivante des matières :

Système des poids et mesures ; - ensuite numération décimale brièvement exposée; - viennent après les huit opérations de l'arithmétique à savoir : addition, soustraction, multiplication, division, élévation au carré, au cube, extraction de la racine carrée, de la racine cubique. - Réduction des fractions au même dénominateur; fractions de fractions, nombres fractionnaires et les huit règles appliquées aux fractions. Les « règles du zéro », c'est-à-dire a ±0 = a, 0² = 0,  = 0 a/0 = ; - la solution de quelques équations simples données comme questions d'arithmétique; - la règle de fausse supposition; les équations simultanées du premier degré avec applications; -  la solution de quelques équations du second degré; la règle de trois et la règle de trois composée avec des cas divers. Intérêts, escompte et partages. Le temps nécessaire à plusieurs fontaines pour remplir une citerne. Echanges, progressions arithmétiques et sommation des carrés et des cubes. Progressions géométriques. Problèmes sur les triangles et les quadrilatères. Valeur approchée de . Quelques formules trigonométriques. Volume des solides. Equations indéterminées du premier degré. Enfin le livre se termine par quelques questions sur les combinaisons.
C'est le plus ancien ouvrage connu présentant une exposition méthodique du système de numération décimale. Il est possible que ce système fût familier à Arhyabhata et très vraisemblable que Brahmagupta l'ait connu, mais nous trouvons dans l'arithmétique de Bhaskara des symboles numériques dûs aux Arabes ou aux Indiens et un signe pour le zéro, formant ensemble une notation bien définie. Il est actuellement impossible de trouver des; traces de l'emploi de ces symboles antérieurement au huitième siècle, mais il n'y a aucune raison de douter de l'assertion, qui a été émise, que leur usage remonte au commencement du septième: siècle. Leur origine est une question difficile et controversée.

Pour nous résumer, nous pouvons dire que le Lîlâvatî donne les règles actuellement en usage pour l'addition, la soustraction, la multiplication et la division aussi bien que les traités d'arithmétique les plus communs ; et que la plus grande partie de l'ouvrageest consacrée à la discussion de la règle de trois, divisée en directe et inverse, en simple et composée, et employée à la résolution (le nombreuses questions, principalement d'intérêt et d'échange. Le système de numération décimale que nous connaissons est utilisé dans les applications numériques.

Bhaskara était aussi célèbre comme astrologue que comme mathématicien. Il apprit par cette science que le mariage de sa fille Lîlâvatî serait pour lui un événement fatal. C'est pourquoi il ne voulut jamais lui permettre de le quitter, et comme une sorte de
consolation, non seulement il donna son nom au premier livre de son ouvrage, mais encore il rédigea plusieurs de ses problèmes sous forme de questions qu'il était censé lui adresser.

En voici un exemple :

 « Aimable et chère Lîlâvatî dont les yeux ont la douceur de ceux du faon, dis-moi quels sont les nombres qui résultent de la multiplication de 135 par 12. Si tu es experte en multiplication, soit par totalité ou par parties, soit par division ou par séparation des chiffres, dis-moi, heureuse demoiselle, quel est le quotient du produit par le même multiplicateur ».
Ajoutons ici que dans les ouvrages indiens, les problèmes fournissent beaucoup d'informations intéressantes sur les conditions sociale et économique du pays. Ainsi Bhaskara traite quelques questions relatives au prix des esclaves et incidemment il fait remarquer qu'une femme esclave était généralement considérée comme ayant sa plus grande valeur lorsqu'elle avait 16 ans et que cette valeur décroissait ensuite en raison inverse de l'âge; par exemple si cette esclave valait à l'âge de 16 ans, 32 nishkas, à
20 ans, sa valeur n'était plus que de (16 x 32) / 20 = 25,6 nishkas. Il paraîtrait, suivant une évaluation moyenne grossière, qu'une esclave de 16 ans, représentait la valeur de 8 boeufs ayant travaillé pendant 2 ans. L'intérêt de l'argent en Inde variait de 3 1/2 à 5% par mois. Entre autres renseignements ainsi fournis on trouve le prix des denrées et du travail.

Le chapitre intitulé Bija Ganita débute par une sentence si ingénieusement présentée qu'on peut la lire comme l'énonciation d'une vérité religieuse, philosophique ou mathématique. Bhâskara après avoir fait allusion à son arithmétique ou Lîlâvatî, annonce qu'il se propose dans ce livre d'étudier les opérations générales de l'analyse. Il emploie une notation dont voici le principe. Des abréviations et des initiales sont utilisées comme symbole; la soustraction est indiquée par un point placé au-dessus du coefficient de la quantité à soustraire, l'addition par la simple juxtaposition; mais il n'a aucun symbole pour la multiplication, l'égalité ou l'inégalité qui sont écrites en entier. Le produit est indiqué par la première syllabe du mot jointe aux facteurs entre lesquels se trouve quelquefois placé un point. Dans un quotient ou une fraction le diviseur est écrit sous le dividende, mais sans trait séparatif. Les deux membres d'une équation sont écrits l'un sous l'autre et l'exposition écrite de tous les développements qui accompagnent l'opération préserve de toute confusion.

Il emploie pour les quantités inconnues des symboles variés, mais beaucoup d'entre eux sont les lettres initiales des noms des couleurs, et le mot couleur est souvent usité comme synonyme de quantité inconnue; son équivalent en sanscrit signifie également une lettre, et les lettres sont quelquefois employées, soit qu'elles proviennent de l'alphabet ou des syllabes initiales des sujets sur lesquels roule le problème. Dans un ou deux cas des symboles sont employés aussi bien pour les quantités connues que pour les quantités inconnues. Les initiales des mots carré et solide, indiquent la seconde et la troisième puissances, et la première syllabe du mot qui désigne la racine carrée représente une quantité irrationnelle. Les polynômes sont ordonnés par rapport aux puissances, le terme indépendant étant toujours placé à la fin et distingué par la syllabe initiale dénotant une quantité connue. Beaucoup de ces équations renferment des coefficients, et le coefficient s'écrit toujours après la quantité inconnue. Les termes positifs ou négatifs sont indistincte tuent placés au premier rang, et chaque puissance figure dans les deux termes d'une équation avec zéro pour coefficient quand l'une d'elles fait défaut. 

Après l'explication de la notation, Bhâskara continue en donnant les règles pour l'addition, la soustraction, la multiplication, la division, l'élévation au carré et l'extraction de la racine carrée des expressions algébriques. Il expose ensuite les règles du zéro comme dans le Lîlâvatî; il résout plusieurs équations, et enfin termine par quelques opérations sur les radicaux. Plusieurs des problèmes sont énoncés d'une façon poétique avec des allusions aux gentes demoiselles et aux galants chevaliers.
Des fragments d'autres chapitres traitant de l'algèbre, de la trigonométrie et donnant des applications géométriques ont été traduits par Colebrooke. Parmi les formules trigonométriques il s'en trouve une équivalente à l'équation d (sin ) = cos d. (WW. Rouse Ball / F. Hoefer).

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