Friedmann grandit dans un environnement intellectuel : son père est compositeur et sa mère pianiste, ce qui lui donne très tôt une formation culturelle riche. Il s'oriente cependant rapidement vers les sciences exactes et intègre l'université de Saint-Pétersbourg, où il se distingue par ses capacités en mathématiques appliquées et en physique théorique.

Durant ses études, il est influencé par les avancées récentes en physique, notamment celles liées à la théorie de la relativité développée par Albert Einstein. Friedmann s'intéresse particulièrement à la manière dont les équations de cette théorie peuvent décrire l'univers dans son ensemble. Il obtient son diplôme en 1910 et commence à travailler dans divers domaines scientifiques, notamment la météorologie et l'aéronautique. Pendant la Première Guerre mondiale, il sert comme ingénieur et pilote dans l'armée russe, ce qui témoigne de la diversité de ses compétences techniques.

Après la guerre, il reprend ses recherches académiques dans un contexte marqué par les bouleversements politiques de la Révolution russe. Il devient professeur et travaille à l'Observatoire géophysique principal ainsi qu'à l'université. C'est dans les années 1920 qu'il réalise ses contributions les plus importantes. En 1922 et 1924, il publie des articles fondamentaux dans lesquels il applique les équations de la relativité générale à l'univers dans son ensemble. Contrairement à Einstein, qui défendait alors un univers statique, Friedmann démontre que les solutions des équations permettent des univers dynamiques, en expansion ou en contraction.

Ces travaux introduisent ce qu'on appelle aujourd'hui les modèles de Friedmann, qui décrivent l'évolution de l'univers en fonction de sa densité et de sa courbure. Ses équations, désormais connues sous le nom d'équations de Friedmann, constituent la base mathématique de la cosmologie moderne. Initialement, Einstein conteste les résultats de Friedmann, pensant qu'ils contiennent une erreur. Après vérification, il reconnaît finalement leur validité, ce qui marque un tournant dans la compréhension scientifique de l'univers.

Friedmann ne se limite pas à la cosmologie. Il travaille également sur la dynamique des fluides et la météorologie, et contribue à des modèles atmosphériques et à l'étude des turbulences. Il effectue même un vol en ballon stratosphérique en 1925 pour étudier l'atmosphère, illustrant son goût pour l'expérimentation directe. Il joue un rôle important dans le développement de la science soviétique naissante, notamment en formant de jeunes chercheurs et en participant à l'organisation d'institutions scientifiques.

Friedmann meurt en 1925, à seulement 37 ans, probablement des suites d'une maladie infectieuse (typhoïde). Sa disparition prématurée empêche le développement complet de ses idées, mais celles-ci seront confirmées quelques années plus tard par les observations de l'expansion de l'univers, notamment grâce aux travaux de Edwin Hubble.