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Kurt
Gödel
est un un logicien, mathématicien
et philosophe né le 28 avril 1906 à Brünn, en Autriche-Hongrie (aujourd'hui
Brno, en République tchèque) et mort le 14 janvier 1978 à Princeton
(New Jersey). Ses travaux ont eu une influence profonde sur la logique
mathématique, la théorie des ensembles et la philosophie des mathématiques.
Ses théorèmes d'incomplétude, en particulier, ont révolutionné notre
compréhension des fondements des mathématiques, en montrant les limites
intrinsèques de ce que nous pouvons prouver au sein des systèmes formels.
Kurt Friedrich Gödel
montre des aptitudes remarquables pour les mathématiques dès son jeune
âge. Il étudie à l'Université de Vienne, où il obtient son doctorat
en 1930 sous la direction de Hans Hahn. Pendant cette période, il est
influencé par les membres du Cercle
de Vienne, un groupe de philosophes et de scientifiques qui se concentraient
sur la logique et la philosophie des sciences.
En 1933, avec la
montée du nazisme en Europe, Gödel a quitté l'Autriche et s'est finalement
installé aux États-Unis en 1940. Il a rejoint l'Institute for Advanced
Study à Princeton, où il a travaillé aux côtés d'Albert
Einstein et d'autres éminents scientifiques. Gödel a épousé Adele
Nimbursky en 1938, une danseuse de cabaret qui l'a soutenu tout au long
de sa vie. Gödel a souffert de troubles mentaux tout au long de sa vie,
notamment de paranoïa et d'hypocondrie. Sa santé mentale a eu un impact
significatif sur sa vie personnelle et professionnelle. Sa santé mentale
déclinante l'avait conduit à une extrême méfiance envers la nourriture,
et il est mort de faim en 1978.
La contribution la
plus célèbre de Gödel est ses théorèmes
d'incomplétude, qu'il a publiés en 1931. Le premier théorème d'incomplétude
énonce que dans tout système formel cohérent suffisamment puissant pour
inclure l'arithmétique, il existe des propositions vraies qui ne peuvent
pas être prouvées au sein de ce système. Le deuxième théorème
d'incomplétude énonce quant à lui qu'un système formel cohérent ne
peut pas démontrer sa propre cohérence. Cela signifie qu'aucun système
formel ne peut prouver qu'il est exempt de contradictions en utilisant
uniquement ses propres règles et axiomes.
Notons ici que Gödel
abordait les mathématiques en platonicien. Il croyait que les objets mathématiques
existent indépendamment de notre connaissance ou de notre perception d'eux.
Ses théorèmes d'incomplétude sont souvent vus comme un soutien à cette
perspective, indiquant que la vérité mathématique dépasse ce que nous
pouvons formaliser.
Avant ses théorèmes
d'incomplétude, Gödel avait prouvé le théorème de complétude pour
le calcul des prédicats en 1930. Ce théorème stipule que si une formule
est logiquement valide, elle est prouvable. Cela Ă©tablit un lien fondamental
entre la sémantique (la vérité logique) et la syntaxe (la preuve formelle)
dans la logique des prédicats.
Gödel a également
apporté des contributions significatives à la théorie des ensembles,
en particulier en relation avec l'hypothèse du continu (CH).. En 1940,
il a prouvé que l'hypothèse du continu est cohérente avec les axiomes
de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF), si ZF elle-même
est cohérente. Cela signifie qu'il est impossible de prouver que l'hypothèse
du continu est fausse en utilisant les axiomes de ZF.
Gödel s'est également
intéressé à la cosmologie. En 1949, il a trouvé une solution aux équations
d'Einstein qui décrit un univers en rotation (univers de Gödel). Ce modèle
permet des courbes temporelles fermées, ce qui signifie que, théoriquement,
un voyageur pourrait retourner à un point antérieur de son propre passé.
Les solutions de Gödel ont soulevé des questions sur la nature du temps
et de la causalité dans l'univers. Elles suggèrent que notre compréhension
du temps comme une séquence linéaire d'événements pourrait être limitée
et que des phénomènes comme le voyage dans le temps pourraient être
possibles dans certains modèles cosmologiques.
Ajoutons pour terminer
que Gödel a aussi soutenu que l'esprit humain ne peut pas être entièrement
expliqué par des processus mécaniques ou algorithmiques. Ses idées ont
été utilisées pour argumenter contre la possibilité de l'intelligence
artificielle forte, qui prétend que les machines peuvent reproduire
toutes les capacités de l'esprit humain. |
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