Kurt Gödel

Kurt Friedrich Gödel montre des aptitudes remarquables pour les mathématiques dès son jeune âge. Il étudie à l'Université de Vienne, où il obtient son doctorat en 1930 sous la direction de Hans Hahn. Pendant cette période, il est influencé par les membres du Cercle de Vienne, un groupe de philosophes et de scientifiques qui se concentraient sur la logique et la philosophie des sciences.

En 1933, avec la montée du nazisme en Europe, Gödel a quitté l'Autriche et s'est finalement installé aux États-Unis en 1940. Il a rejoint l'Institute for Advanced Study à Princeton, où il a travaillé aux côtés d'Albert Einstein et d'autres éminents scientifiques. Gödel a épousé Adele Nimbursky en 1938, une danseuse de cabaret qui l'a soutenu tout au long de sa vie. Gödel a souffert de troubles mentaux tout au long de sa vie, notamment de paranoïa et d'hypocondrie. Sa santé mentale a eu un impact significatif sur sa vie personnelle et professionnelle. Sa santé mentale déclinante l'avait conduit à une extrême méfiance envers la nourriture, et il est mort de faim en 1978.

La contribution la plus célèbre de Gödel est ses théorèmes d'incomplétude, qu'il a publiés en 1931. Le premier théorème d'incomplétude énonce que dans tout système formel cohérent suffisamment puissant pour inclure l'arithmétique, il existe des propositions vraies qui ne peuvent pas être prouvées au sein de ce système.  Le deuxième théorème d'incomplétude énonce quant à lui qu'un système formel cohérent ne peut pas démontrer sa propre cohérence. Cela signifie qu'aucun système formel ne peut prouver qu'il est exempt de contradictions en utilisant uniquement ses propres règles et axiomes. 

Notons ici que Gödel abordait les mathématiques en platonicien. Il croyait que les objets mathématiques existent indépendamment de notre connaissance ou de notre perception d'eux. Ses théorèmes d'incomplétude sont souvent vus comme un soutien à cette perspective, indiquant que la vérité mathématique dépasse ce que nous pouvons formaliser.

Avant ses théorèmes d'incomplétude, Gödel avait prouvé le théorème de complétude pour le calcul des prédicats en 1930. Ce théorème stipule que si une formule est logiquement valide, elle est prouvable. Cela établit un lien fondamental entre la sémantique (la vérité logique) et la syntaxe (la preuve formelle) dans la logique des prédicats.

Gödel a également apporté des contributions significatives à la théorie des ensembles, en particulier en relation avec l'hypothèse du continu (CH).. En 1940, il a prouvé que l'hypothèse du continu est cohérente avec les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF), si ZF elle-même est cohérente. Cela signifie qu'il est impossible de prouver que l'hypothèse du continu est fausse en utilisant les axiomes de ZF.

Gödel s'est également intéressé à la cosmologie. En 1949, il a trouvé une solution aux équations d'Einstein qui décrit un univers en rotation (univers de Gödel). Ce modèle permet des courbes temporelles fermées, ce qui signifie que, théoriquement, un voyageur pourrait retourner à un point antérieur de son propre passé. Les solutions de Gödel ont soulevé des questions sur la nature du temps et de la causalité dans l'univers. Elles suggèrent que notre compréhension du temps comme une séquence linéaire d'événements pourrait être limitée et que des phénomènes comme le voyage dans le temps pourraient être possibles dans certains modèles cosmologiques.

Ajoutons pour terminer que Gödel a aussi soutenu que l'esprit humain ne peut pas être entièrement expliqué par des processus mécaniques ou algorithmiques. Ses idées ont été utilisées pour argumenter contre la possibilité de l'intelligence artificielle forte, qui prétend que les machines peuvent reproduire toutes les capacités de l'esprit humain.