Dedekind

Richard Dedekind est le plus jeune des quatre enfants de Julius Levin Ulrich Dedekind, administrateur du Collegium Carolinum (une école polytechnique), et de Caroline Henriette Johanne Elisabeth Dedekind (née Emmermann). Il fréquente l'école secondaire (Gymnasium) à Brunswick, où il montre des aptitudes exceptionnelles en mathématiques. En 1848, il entre au Collegium Carolinum, où son père travaille. Cependant, son intérêt pour les mathématiques pures le conduit rapidement à l'Université de Göttingen en 1850. À Göttingen, Dedekind étudie sous la direction de certains des plus grands mathématiciens de l'époque, notamment Carl Friedrich Gauss, qui, bien qu'âgé, continue à enseigner. Dedekind sera le dernier étudiant de Gauss. L'influence de Gauss, bien que subtile, est significative, notamment dans le souci de la rigueur et de la clarté des démonstrations.

Dedekind obtient son doctorat en 1852 sous la supervision de Moritz Stern, avec une thèse sur la théorie des intégrales eulériennes. Après son doctorat, il reste à Göttingen pendant deux ans pour préparer son habilitation. Il obtient celle-ci en 1854, et devient Privatdozent (chargé de cours non rémunéré) à l'Université de Göttingen. À cette époque, il enseigne le calcul différentiel et intégral, est l'un des premiers à introduire les idées de Galois en Allemagne. En 1858, il accepte un poste de professeur à l'École polytechnique de Zurich (alors Eidgenössische Polytechnische Schule, aujourd'hui ETH Zurich). Il retourneà Brunswick en 1862 pour prendre un poste de professeur au Collegium Carolinum, où son père avait travaillé. Il y restera jusqu'à sa retraite en 1894.

Dedekind a apporté des contributions fondamentales à plusieurs domaines des mathématiques :

• Les coupures de Dedekind et la définition rigoureuse des nombres réels. -  C'est sans doute sa contribution la plus célèbre. Dedekind était préoccupé par le manque de fondement logique rigoureux pour les nombres réels. En 1872, il a publié son oeuvre Stetigkeit und irrationale Zahlen (Continuité et nombres irrationnels), où il a introduit la notion de "coupure". Une coupure est une partition de l'ensemble des nombres rationnels en deux sous-ensembles non vides, A et B, tels que tout élément de A est inférieur à tout élément de B, et A n'a pas de plus grand élément. Dedekind a démontré que chaque coupure correspond soit à un nombre rationnel, soit définit un unique nombre irrationnel. Cette construction a fourni une base solide et logique pour la compréhension des nombres réels.

• La théorie des idéaux en théorie algébrique des nombres. - Travaillant sur des problèmes liés au dernier théorème de Fermat, Dedekind a développé la théorie des idéaux, une généralisation de la notion de nombre. En collaboration étroite avec Gustav Lejeune Dirichlet, il a approfondi la théorie des nombres algébriques. Après la mort de Dirichlet, Dedekind a édité et enrichi les Leçons sur la théorie des nombres de Dirichlet, en y ajoutant des suppléments cruciaux qui ont jeté les bases de la théorie des idéaux. Ces idéaux ont permis de surmonter les difficultés rencontrées lors de la factorisation unique dans certains anneaux de nombres algébriques.

• Les ensembles et les applications. - Bien que Georg Cantor soit plus souvent crédité pour la théorie des ensembles, Dedekind a également joué un rôle important dans son développement. Il a été l'un des premiers à formuler une définition claire d'un ensemble infini (un ensemble qui peut être mis en bijection avec une de ses parties propres).

• Fondations des mathématiques. - Dedekind a toujours été soucieux de la rigueur et des fondements logiques des mathématiques. Son travail sur les nombres réels et les idéaux témoigne de cette préoccupation.