Le triangle

Les considérations qui s'appliquent aux triangles, à leurs propriétés, à leurs éléments, sont, pour ainsi dire, la base de la géométrie classique, et ces propriétés sont innombrables. Aussi, est-il permis de s'étonner qu'après tant de siècles d'efforts, tant de recherches et tant de résultats obtenus, ce soit seulement vers la fin du XIX^e siècle (en 1872) qu'ait commencé une étude systématique de le géométrie du triangle. C'est Emile Lemoine qui en fut le premier initiateur. Depuis, un grand nombre de mathématiciens, parmi lesquels Brocard, Césaro, Kiepert, G. de Longchamps, Mackay, Neuberg, Poulain, Ripert, G. Tarry, pour n'en citer que quelques-uns, ont apporté à cette étude une contribution considérable, et c'est à bon droit qu'on a doté cette branche de la géométrie du nom de « Nouvelle géométrie du triangle ». Les éléments, toutefois, en restaient disséminés, épars dans une foule de périodiques, et par cela même inutilisés pour une bonne part.  C. Alasia, a entrepris un peu plus tard de réunir tous ces matériaux en un livre didactique, La Geometria del triangolo, (1900). (C.-A. Laisant).

Définitions

Il y a six éléments à considérer dans un triangle, à savoir : trois angles et trois côtés.

Le périmètre d'un triangle est la somme des trois côtés (entendons la somme des longueurs des trois côtés).

On désigne ordinairement les trois angles d'un triangle par trois lettres majuscules, A, B, C, par exemple, et les côtés opposés par les mêmes lettres minuscules, a, b, c. Pour éviter la confusion , on dit, s'il est besoin, grand A, grand B, petit a, petit b.

Types de triangles
Triangle rectangle.
Un triangle est rectangle lorsqu'il a un angle droit, obtusangle lorsqu'il a un angle obtus, et acutangle lorsque tous ses angles sont aigus.

Triangle isocèle.
Un triangle est isocèle lorsqu'il a deux côtés égaux

Triangle équilatéral.
Un triangle est équilatéral quand ses trois côtés sont égaux

Triangle scalène.
Un triangle scalène est un triangle dont les trois côtés sont inégaux.

Noms des parties du triangle.

Hypothénuse.
On appelle hypoténuse le côté opposé à l'angle droit d'un triangle rectangle.

Base et sommet.
La base d'un triangle est le côté sur lequel il est censé posé, et le sommet est le point de rencontre des deux autres côtés. On peut prendre pour base d'un triangle l'un quelconque des côtés. 

Dans un triangle isocèle, on nomme spécialement sommet le point de rencontre des deux côtés égaux, et base le côté opposé au sommet. 

Hauteur et médiane.
On appelle hauteur d'un triangle la perpendiculaire abaissée de l'un des sommets sur le côté opposé ou sur son prolongement; Et médiane, la droite qui joint l'un des sommets au milieu du côté opposé.

Dans un triangle quelconque, il y a trois hauteurs, trois médianes et trois bissectrices.

Propositions

Théorème I.
Deux triangles sont égaux :

1° Lorqu'ils ont un côté égal adjacent à des angles respectivement égaux;

2° Lorsqu'ils out un angle égal compris entre des côtés respectivement égaux;

3° Lorsqu'ils ont les trois côtés respectivement égaux.

Théorème II.
Deux triangles rectangles sont égaux :

1° Lorsqu'ils ont l'hypoténuse égale et un autre côté égal;

2° Lorsqu'il ont l'hypoténuse égale et un angle aigu égal.

Réciproquement :
Lorsque deux triangles ont deux côtés respectivement égaux, et que les troisièmes côtés sont inégaux, les angles opposés à ces troisièmes côtés sont pareillement inégaux, et au plus petit côté se trouve opposé le plus petit angle.

Théorème IV.
Dans un triangle isocèle, les angles opposés aux côtés égaux sont égaux.

Réciproquement :
Si deux angles d'un triangle sont égaux, les côtés opposés à ces angles sont aussi égaux.

Corollaire.
Un triangle équilatéral est équiangle, et réciproquement.

Scolie. 
Dans un triangle isocèle, la droite qui joint le sommet an milieu de la base remplit quatre conditions, dont deux suffisent pour la déterminer; de là découlent quatre propositions qui se trouvent toutes démontrées par l'une quelconque d'entre elles, et que l'on peut d'ailleurs établir separément :

Dans tout triangle isocèle

1° La droite qui joint le sommet au milieu de la base est perpendiculaire à la base et bissectrice de l'angle du sommet;

2° La perpendiculaire abaissée du sommet sur la base est bissectrice
de l'angle du sommet et divise la base en deux parties égales;

3° La bisssectrice de l'angle du sommet est perpendiculaire au milieu de la base;

4° La perpendiculaire élevée sur le milieu de la base divise l'angle du sommet en deux parties égales.

Réciproquement : 
A un plus grand côté d'un triangle est opposé un plus grand angle.

Théorème VI.
Tout point de la bissectrice d'un ongle est équidistant des deux côtés de cet angle

Réciproquement : 
Tout point équidistant des deux côtés d'un angle appartient à la bissectrice de cet angle.

Corollaires :

1° Tout point pris hors de la bissectrice d'un angle est inégalement distant des deux côtés de cet angle; car si ce point était équidistant des deux côtés, il appartiendrait à la bissectrice .

2° La bissectrice d'un angle est le lieu géométrique des points équidistants des deux cotés de cet angle.

• La somme des trois hauteurs d'un triangle est moindre que la somme des trois côtés,

• Une médiane quelconque d'un triangle est plus petite que la demi-somme des deux côtés adjacents.

• La somme des trois médianes d'un triangle est comprise entre le périmètre et le demi-périmètre de ce triangle.

• Les perpendiculaires menées aux deux côtés d'un angle, à des distances égales du sommet, se rencontrent sur la bissectrice.

• Toute perpendiculaire à la bissectrice d'un angle rencontre les côtés à des distances égales du sommet.

• Un triangle est isocèle lorsqu'une même droite y est à la fois médiane et hauteur, - ou bien bissectrice et hauteur, - ou bien bissectrice et médiane.

• Si deux côtés d'un triangle sont inégaux, la bissectrice et la médiane comprises sont l'une et l'autre plus grande que la hauteur qui part du même sommet.

• Un triangle isocèle a deux hauteurs égales, deux bissectrices égales, et deux médianes égales; les perpendiculaires élevées sur milieux des côtés égaux et terminés aux côtés opposés sont aussi égales.

• Un triangle est isocèle lorsqu'ili a deux hauteurs égales, ou deux médianes égales. Il en est de même lorsque deux des perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés et terminées aux cotés opposés sont égales.

• Tout point pris hors de la bissectrice d'un angle est inégalement distant des deux côtés de cet angle.