Potentiel

V = dm/r, 

étendue à toutes les masses attirantes, a été désignée par Green sous le nom de fonction potentielle et par Gauss sous celui de potentiel; souvent aussi on l'appelle : potentiel newtonien. 

Si l'on rapporte le système à trois axes de coordonnées rectangulaires, les trois dérivées partielles dV/dx, dV/dy, dV/dz, représentent, à un facteur constant près, les composantes de la force agissant sur la masse unité placée au point x, y, z. La somme des trois dérivées secondes : d²V/dx² + d²Vdy² + d²V/dz² est nulle si le point attiré ne fait partie d'aucune des masses attirantes (équation de Laplace). 

Si le point attiré fait partie de l'une de ces masses, et si r est la densité en ce point, la même somme a pour valeur - 4r (équation de Poisson). La fonction potentielle est partout finie et continue, ainsi que ses dérivées premières. Les dérivées secondes, au contraire, varient brusquement quand le point attiré traverse l'une des surfaces limitant les masses attirantes. 

Si toutes les masses attirantes sont à distance finie de l'origine, les produits Vx, Vy, Vz, x²dV/dx, y²dV/dy, z²dV/dz tendent vers des limites finies lorsque x, y, z augmentent indéfiniment. 

La théorie de l'attraction d'une figure plane sur un point de son plan conduit à des résultats analogues, pourvu que l'attraction soit supposée s'exercer en raison inverse non plus du carré de la distance, mais bien de la distance elle-même. Le potentiel est alors U =  dm. log r, en désignant par dm la masse répandue sur l'élément superficiel placé à la distance r du point attiré. La fonction U s'appelle le potentiel logarithmique et vérifie l'équation d²U/dx² + d²U/dy² = - 2r, qui rappelle celle de Poisson.

La même fonction intervient dans la théorie de l'attraction newtonienne exercée par un cylindre à base quelconque, de hauteur indéfinie, et mérite par suite le nom de potentiel cylindrique. Dans certaines recherches sur l'élasticité, Boussinesq a été conduit à considérer une fonction qu'il a appelée le potentiel logarithmique à trois variables, et qui a pour expression U =  dm. log (z + r), en désignant par z la distance du point attiré au plan des xy, sur lequel est supposée répartie la masse attirante, et r la distance du même point à l'élément dm.

Revenons au potentiel newtonien. Les surfaces le long desquelles le potentiel est constant sont les surfaces de niveau, ou encore surfaces équipotentielles. En un point quelconque, la force attirante est normale à la surface de niveau. Les trajectoires orthogonales des surfaces de niveau sont des courbes partout tangentes à la direction de la force : aussi Faraday les a-t-il désignées sous le nom de lignes de force. 

Une propriété fondamentale du potentiel se déduit de l'équation dite de Green. Cette propriété est la suivante : si l'on considère une surface fermée quelconque, et si M désigne la somme des masses attirantes intérieures à cette surface; si dw est un élément de la surface et dV/dn, la dérivée du potentiel prise normalement à dw, l'intégrale double dV/dn . dw est égale à -4 M. Le potentiel d'une couche sphérique homogène est constant à l'intérieur de cette couche et, à l'extérieur, il est le même que si toute la masse était concentrée au centre; on déduit aisément de là le potentiel  d'une masse sphérique homogène ou composée de couches homogènes. 

Le potentiel des ellipsoïdes, très important à connaître dans les recherches astronomiques, a donné lieu à de nombreux travaux que nous ne pouvons analyser ici. Citons seulement un théorème remarquable dû à Chasles, et d'après lequel, quand la masse attirante est une couche homogène comprise entre deux ellipsoïdes concentriques et homothétiques, infiniment rapprochés, les surfaces équipotentielles extérieures sont des ellipsoïdes homofocaux à la couche. On sait, d'ailleurs, depuis Newton, qu'à l'intérieur d'une pareille, couche l'attraction est nulle, et par conséquent le potentiel est constant.

La notion de potentiel a reçu en mécanique une extension considérable : chaque fois que les trois composantes rectangulaires de la force agissant en un point de l'espace peuvent être considérées comme égales aux dérivées partielles d'une même fonction, on dit que cette fonction (prise avec le signe -) est le potentiel du système de forces. Ce système prend lui-même le nom de champ de forces. Le travail de la force, pour un déplacement quelconque de son point d'application, est dans tous les cas proportionnel à la variation correspondante du potentiel. 

Énergie potentielle. En physique mathématique, on a fréquemment à faire une distinction entre le potentiel des forces extérieures appliquées à un système moléculaire, et le potentiel des forces intérieures, c.-à-d. des actions mutuelles des molécules. Le potentiel des forces intérieures reçoit alors le nom d'énergie potentielle, proposé par Rankine. Dans les études relatives à l'élasticité des corps solides, cette même fonction est fréquemment nommée potentiel d'élasticité.

Potentiel électrique. En électrostatique, l'action des masses obéit à des lois analogues à celles de l'attraction newtonienne : la principale différence est que les électricités de même nom se repoussent, et que les électricités de nom contraire s'attirent; ce qui conduit à envisager des "masses" électriques positives ou négatives (que l'on appelle plus communément des charges. Le potentiel d'un corps conducteur a la même valeur en tous les points de la surface de ce conducteur : c'est cette condition qui détermine la distribution de l'électricité.

En pratique, on n'a à considérer que les différences de potentiel. Les différences de potentiel électrostatique se mesurent au moyen des appareils appelés électromètres. En électrocinétique, la notion de potentiel ,joue un rôle fondamental, car, d'après, la loi de Ohm, l'intensité du courant électrique qui passe dans un fil de longueur donnée est, toutes choses égales d'ailleurs, proportionnelle à la différence de potentiel des extrémités. L'unité de différence de potentiel est le volt.

Potentiel magnétique. La notion du potentiel magnétique est tout à fait comparable à celle du potentiel électrique : les masses électriques sont simplement remplacées par des masses magnétiques. Mais il faut remarquer qu'il n'existe dans le cas du magnétisme ni corps conducteurs, ni courants. En particulier, la théorie des aimants envisage des surfaces équipotentielles définies, comme nous l'avons fait en partant du potentiel newtonien, et des lignes de force dont la forme est mise en évidence par l'expérience des fantômes magnétiques.

Potentiel thermodynamique. Dans la théorie mécanique de la chaleur intervient une fonction importante qui a été d'abord envisagée par Massieu sous le nom de fonction caractéristique et qui, depuis lors (simplement modifiée par l'introduction d'un facteur constant), a reçu de Helmholtz le nom d'énergie libre et, de Duhem, celui de potentiel thermodynamique. Si l'on appelle U l'énergie interne du corps considéré, T sa température absolue, S son entropie, et E l'équivalent mécanique de la chaleur, le potentiel thermodynamique a pour expression E (U - TS). Helmholtz s'est servi de cette fonction pour interpréter les phénomènes thermiques qui accompagnent le travail de la pile. Duhem l'a appliquée à la mécanique chimique et aux phénomènes électriques. (L. Lecornu).