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Ligne

En mathématiques, on appelle ligne ce qui sépare deux portions d'une même surface (et surface ce qui sépare un corps de l'espace environnant); on dit quelquefois que le ligne n'a pas d'épaisseur, mais qu'elle a une longueur. Si l'on examine avec soin ces locutions, il est facile de voir qu'a priori elles n'ont aucun sens, et que la seconde ne peut en acquérir un qu'en vertu d'une définition, celle de la longueur, définition très complexe et qui exige, de la part de celui auquel on la donne, la connaissance de notions étendues en mathématiques. La définition de l'épaisseur n'a jamais été, que je sache, donnée d'une façon générale.

La plus importants de toutes les lignes, celle qui joue un rôle prépondérant en géométrie, est la ligne droite; c'est une ligne qui reste fixe quand on en fixe deux points. On admet ordinairement que par deux points on en peut faire passer une, et une seule; de sorte que deux lignes droites qui ont deux points communs coïncident; il en résulte que deux portions, ou, comme l'on dit, deux segments, peuvent coïncider, c.-à-d. être égales; de même on peut ajouter des portions de droites; c'est les porter bout à bout sur une même droite indéfinie; leur somme est alors la portion de droite qui a pour extrémités les extrémités non communes des deux portions considérées. Les segments de droite sont donc des quantités.

La ligne brisée est une ligne composée de droites.
La ligne courbe est une ligne qui n'est ni droite, ni composée de droites.
La ligne mixte est composée du parties droites et courbes.
Après la ligne droite, la plus importante des lignes est la circonférence de cercle; les arcs de cercle d'un même rayon sont, comme les segments de droite, de véritables quantités; ils sont en effet superposables et, par suite, égaux quand ils correspondent à des angles au centre égaux; leur addition se fait comme ceux des segments de droite.
La droite et la circonférence sont des lignes planes, c.-à-d. entièrement comprises dans un plan.
La ligne la plus importante après la droite et le cercle est la courbe qui porte le nom d'hélice; les arcs d'hélice de même pas et de même rayon peuvent être superposés; la droite, les arcs de cercle de même rayon, les arcs d'hélice de même pas et de même rayon sont les seules lignes qui soient réellement des quantités; ce sont en effet les seules lignes auxquelles s'applique la définition de l'égalité géométrique (deux figures géométriques sont égales quand elles sont égales ou décomposables en parties égales deux à deux).

Longueur
La longueur d'une droite, d'un arc de cercle, d'un arc d'hélice est le nombre qui sert à mesurer cette droite ou cet arc; les autres arcs de courbe ne peuvent être mesurés; ce ne sont pas des quantités; il y a plus l'arc de cercle lui-même ne peut être mesuré avec une droite prise pour unité, car l'arc de cercle n'est ni superposable à une droite ni décomposable en parties superposables à des portions de droite. Une courbe n'a donc pas de longueur, ou du moins, si elle acquiert une longueur, ce ne pourra être qu'en vertu d'une définition ou en vertu d'une extension de la signification du mot longueur, extension dont les exemples fourmillent en algèbre.

On appelle longueur d'un arc de courbe la limite vers laquelle converge la longueur de la ligne brisée inscrite dans cet arc; dont les côtés infiniment petits sont en nombre infini; si l'on désigne par x, y, z les coordonnées d'un point quelconque d'un arc de courbe, par xo, yo, zo et par X, Y, Z, les coordonnées de ses extrémités, la longueur de cet arc est donnée par la formule :

Il est à remarquer qu'en général un arc de courbe a une longueur bien déterminée, mais il peut arriver que l'intégrale (

Calcul intégral) précédente n'ait pas de valeur bien déterminée; il y a donc des arcs de courbe, même de courbes continues, qui n'ont pas de longueur.

Dictionnaire Idées et méthodes