La division

1° du genre par ses espèces. Par exemple, quand on dit : toute substance est corps ou esprit; 

2° du genre par ses différences. Exemple : tout nombre entier est pair ou impair;

3° d'un sujet commun par les accidents opposés dont il est capable. Par xemple : tout corps est en mouvement ou en repos;

4° enfin, d'un accident en ses divers sujets. par exemple : la beauté du corps et celle de l'esprit.

1° qu'elle soit entière ou adéquate, c.-à-d. que ses membres comprennent toute l'étendue du terme divisé;

2° qu'ils soient véritablement opposés l'un à l'autre, soit comme espèces (corps et esprit), soit comme différence et par la simple négation (pair et impair, corporel et incorporel);

3° que la division soit distincte ou irréductible, c.-à-d. que l'un des membres ne soit pas contenu dans l'autre, de telle sorte que celui-ci en puisse quelquefois être infirmé: si l'on divisait les nombres en pairs, impairs et carrés, ce dernier membre rentrerait en partie dans chacun des deux autres; si l'on divisait les opinions en vraies, fausses et probables, ce serait une division défectueuse, car ce qui est probable est nécessairement vrai ou faux.

"On peut remarquer, dit la Logique de Port-Royal (2e part., ch. 15), que c'est un égal défaut de ne pas faire assez et de faire trop de divisions. L'un n'éclaire pas assez l'esprit, et l'autre le dissipe trop. On retombe par là dans la confusion que l'on prétend éviter. Tout ce qui est réduit en poussière est confus. "

En prenant la division, non pas seulement dans sa forme, mais dans son fond et dans ses résultats, on peut la considérer comme une des parties de l'analyse. Elle forme même à elle seule une sorte de méthode, que l'on peut employer avec quelque avantage là où la méthode de définition fait défaut. Ainsi, lorsqu'on se trouve, pour un motif ou pour un autre, dans l'impossibilité de faire connaître l'essence d'un genre, ce qui est le but de toute recherche scientifique, mais un but que l'on ne peut pas toujours atteindre, il peut y avoir encore profit à diviser et à subdiviser ce genre. Ainsi, si l'on ne peut définir la sensation, on fera remarquer que ce nom s'applique aux phénomènes opposés de la peine et du plaisir, etc. Cette méthode, beaucoup moins instructive que la définition, qui pénètre dans la nature intime des choses, ne laisse pas de contribuer à porter dans les idées la clarté que l'on cherche. (B-E).

Division des nombres entiers. - Il est évident que, prenant au hasard un dividende et un diviseur, il arrive le plus souvent que le dividende n'est pas le produit du diviseur par un nombre entier. Dans ce cas, on dit que la division a pour but de chercher le nombre entier par lequel il faut multiplier le diviseur pour avoir le plus grand multiple de ce diviseur contenu dans le dividende. La différence entre ce multiple et le dividende s'appelle le reste de la division. Le nombre trouvé n'est pas le véritable quotient; mais il n'en diffère pas d'une unité, et on dit qu'il est approché à moins d'une unité. 

Ces nombres étant abstraits, le quotient peut être considéré soit comme multiplicateur, soit comme multiplicande. Dans le premier cas, il indique, d'après la définition la multiplication, combien de fois il faut prendre le diviseur pour avoir soit le dividende, soit le plus grand multiple du diviseur contenu dans le dividende, et alors on petit dire que la division a pour but de trouver combien de fois un nombre est contenu dans un autre. De ce point de vue particulier vient le nom de quotient. Si le quotient est considéré comme multiplicande, c'est-à-dire comme une partie du dividende contenue dans celui-ci autant de fois qu'il y a d'unités dans le diviseur, alors on peut dire que la division a pour but de trouver l'une des parties d'un nombre divisé en autant de parties égales qu'il y a d'unités dans un autre nombre, ou plus simplement, de partager un nombre en un nombre donné de parties égales. De cet autre point de vue particulier viennent les noms de l'opération du dividende et du diviseur. 

La division est regardée comme la plus difficile des opérations élémentaires de l'arithmétique. Voici quelques raisons de n'en plus douter... 

1° Lorsque le diviseur n'a qu'un chiffre et que le dividende est plus petit que dix fois le diviseur, le quotient n'a qu'un chiffre qui est immédiatement donné par la table, de la multiplication. Il suffit de considérer la colonne verticale qui commence par le diviseur et de chercher dans cette colonne soit le dividende, soit le plus petit des deux nombres entre lesquels il est compris, le rang qu'occupe ce nombre indique le chiffre du quotient. 

2° Lorsque le diviseur a plusieurs chiffres et que le dividende eut encore plus petit que dix fois le diviseur, le quotient, qui n'a encore qu'un chiffre, petit aussi se trouver immédiatement, si, comme dans le cas précédent, on a le tableau des neuf premiers multiples du diviseur. 

On peut former ce tableau en ajoutant le diviseur, d'abord à lui-même et ensuite successivement à chaque somme trouvée. 

Ainsi le quotient de 7486 par 987 est 7 à moins d'une unité, puisque 7486 est compris entre 7 fois 987 et 8 fois 987. 

Mais comme il faut former des multiples inutiles, on a cherché à abréger le calcul en supposant que le nombre par lequel il faut multiplier 987 unités pour avoir 7481; unités doit être à peu près le même que celui par lequel il faut multiplier 9 centaines pour avoir 74 centaines, ce qui ramènerait au cas précédent. 

Mais ce nombre serait 8, tandis que le véritable est 7. On s'expose donc ainsi à mettre un chiffre trop fort, et l'on doit l'essayer pour s'assurer qu'il ne l'est pas. 

3° Lorsque le diviseur a plusieurs chiffres et que le dividende est plus grand que dix fois le diviseur, il est évident que le quotient a plusieurs chiffres et qu'on ne peut trouver à la fois tous ces chiffres; on doit donc les chercher successivement. Pour fixer les idées, soit à diviser 7486784 par 987. Comme le quotient a plusieurs chiffres, le dividende se compose de la somme des différents produits obtenus en multipliant 987 par tous ces chiffres du quotient, et probablement encore d'un excès sur cette somme, excès plus petit que le diviseur et qui sera le reste de la division. Si l'on pouvait connaître d'avance chacun de ces produits, il serait facile de trouver chaque chiffre du quotient et même dans tel ordre qu'on voudrait, puisque chaque dividende partiel ferait connaître l'ordre des unités du chiffre correspondant du quotient ; mais en réalité, tous ces produits partiels sont confondus. On sait bien où commence vers la droite le produit du diviseur par chaque chiffre du quotient, puisque les unités du produit sont de meure ordre que celles du quotient mais on ne sait pas où il se termine vers la gauche. 

II n'y a que le produit du diviseur par le chiffre des unités de l'ordre le plus élevé du quotient dont on puisse assigner exactement la place sur la gauche du dividende. C'est donc ce chiffre qu'il faut chercher le premier. Le calcul doit donc être ordonné par rapport au résultat de l'opération et non par rapport aux données, comme dans la multiplication, la soustraction et l'addition, et c'est là ce qui fait la principale difficulté de la théorie de la division. 

II faut donc connaître d'abord le nombre des chiffres du quotient pour pouvoir trouver chacun de ces chiffres. Or, en multipliant le diviseur par 10, 100, 1000, 10000, on reconnaît que le dividende 7186784 est compris entre 9870000 et 987000 donc le quotient est compris entre 1000 et 10000, donc le premier chiffre à gauche du quotient est de l'ordre des mille, et l'on peut conclure aussitôt cette règle que le quotient a autant de chiffres que le dividende en a de plus que le diviseur, et un de plus quand le premier chiffre du dividende surpasse celui du diviseur. 

Cherchons donc le chiffre des mille du quotient. Il est évident que le produit du diviseur par ce chiffre est aussi de l'ordre des mille, qu'il doit se trouver dans les mille du dividende, et que les trois derniers chiffres à droite du dividende ne peuvent nullement servir à trouver le chiffre cherché. 

Mais, dans les 7486 mille du dividende, il y a des mille qui proviennent de la multiplication du diviseur par les autres chiffres du quotient ; donc, puisque 7486 est plus grand que le produit de 987 par le chiffre des mille du quotient, on peut craindre qu'en cherchant simplement le nombre par lequel il faut multiplier 987 pour avoir 7486, on ne trouve un chiffre trop fort. 

Heureusement il n'en est pas ainsi. En effet, en examinant le tableau des neuf premiers multiples de 987, on trouve que 7486 est compris entre 7 fois 987 et 8 fois 987 ; donc mille fois 7486 ou 7486000 sera compris entre 7 mille fois 987 et 8 mille fois 987, et il en sera de même de 7486784, puisque 784 est plus petit que mille. Donc le dividende total 7486184 est compris entre 7 mille fois 987 et 8 mille fois 987, comme Ie dividende partiel 7486, est compris entre 7 fois 987 et 8 fois 987. Donc le chiffre des plus hautes unités du quotient est 7, ou rentre donc ainsi dans le cas précédent. 

Si du dividende total on retranche le produit de 987 par 7000, le reste est 577784. C'est un nouveau dividende sur lequel on raisonne comme sur le précédent, en ne prenant pour trouver le chiffre des centaines que la partie 577 7 centaines. On continue de la même manière pour avoir tous les chiffres du quotient. 

Donc, la recherche du quotient de deux nombres entiers quelconques se réduit en définitive au cas où le dividende a deux chiffres au plus et le diviseur un seul chiffre. La division se ramène ainsi à l'addition de deux nombres d'un seul chiffre, c'est-à-dire à une opération qui peut se faire sur les doigts; donc la division rationnellement expliquée et ramenée à l'opération élémentaire peut être exécutée par les intelligences les plus ordinaires. 

On peut s'assurer à chaque division partielle si le chiffre du quotient est exact quand on procède par tâtonnement; car il est trop grand, si le produit du diviseur par ce chiffre ne peut se retrancher du dividende correspondant; il est trop faible, si le reste de cette soustraction est plus grand que le diviseur. La vérification du quotient total est indiquée par la définition même de l'opération, car en multipliant le diviseur par ce quotient et en ajoutant le reste au produit, on doit retrouver le dividende total.