Coordonnées

On appelle coordonnées en géométrie analytique les éléments à l'aide desquels en fixe la position d'un point, soit sur un plan, soit dans l'espace tridimensionnel (ou d'un nombre de dimensions quelconques). Le procédé éminemment ingénieux à l'aide duquel Descartes est parvenu à résoudre cette question et à fonder ainsi la géométrie analytique, constitue l'une des plus grandes découvertes scientifiques des temps modernes; on peut la mettre sur la même ligne que celle du calcul infinitésimal (Analyse mathématique), à raison des immenses conséquences qu'elle a produites.

Prenons sur un plan deux axes fixes OX, OY, se coupant au point O, et supposons que ces deux axes soient perpendiculaires entre eux, il est clair que la position d'un point M sera connue si l'on donne sa distance MP à l'axe OX, ainsi que sa distance OP à l'axe OY. Ces deux distances sont appelées les coordonnées du point M, OP est l'abscisse désignée ordinairement par x, MP est l'ordonnée appelée y. Les deux axes OX, OY, sont appelés axes des coordonnées, OX est l'axe des abscisses ou des x, OY l'axe des ordonnées ou des y. Il est vrai que des points placés dans les différents angles que OX et OY forment autour du point O, pourront avoir les mêmes coordonnées; mais on les distinguera facilement par leur signe, et, en tenant compte de ce dernier élément, on peut dire qu'un point sera rigoureusement connu de position, quand on connaîtra son abscisse et son ordonnée.

Le plus souvent les axes Ox, Oy sont pris rectangulaires; mais ils peuvent former un angle quelconque, et alors ils sont dits obliques.

Lorsque les coordonnées d'un point sont connues, on a facilement sa position sur le plan. Mais si, entre les coordonnées x, y, on a simplement une relation exprimée par une équation f(x,y) = 0, la position du point reste indéterminée, et l'on peut dire qu'il existe une infinité de points satisfaisant à l'équation. En effet, donnant à x une valeur arbitraire quelconque, on en tirera une valeur correspondante pour y, et pour une suite de valeurs croissant par degrés excessivement petits, les valeurs de y croîtront généralement aussi par degrés très petits, de sorte que les points qui en résultent se suivront de manière à former une courbe continue, si x lui-même varie d'une manière continue. Cette courbe, dont les divers points jouissent d'une propriété commune exprimée par l'équation f (x, y) = 0, est représentée par cette équation. A la rigueur, elle ne saurait être construite par le procédé ci-dessus, qui en fera connaître seulement un grand nombre de points très voisins formant un polygone. Mais comme rien ne limite théoriquement la petitesse de l'intervalle qui sépare deux valeurs de x consécutives, on peut, par la pensée, réduire cet intervalle à zéro et concevoir la courbe, le lieu géométrique de tous ces points.

Le système de coordonnées que nous venons de faire connaître, et qu'on appelle système rectiligne, n'est pas à beaucoup près le seul. A un point de vue tout à fait général, le nombre en est infini, car il n'y a pas de limite à assigner aux combinaisons géométriques qui sont susceptibles de définir la position d'un point; mais, dans la pratique, on n'emploie guère que le précédent et le système polaire. Dans ce système, fort usité en astronomie, la position d'un point M est définie par sa distance OM ou r à un point fixe, et par l'angle q que cette droite OM, appelée rayon recteur, forme avec une droite ou axe fixe OX. Dans ce système, une courbe se trouve représentée par une relation entre les deux quantités r et q. Ainsi, par exemple, l'équation r = a.q, indiquant que le rayon recteur varie proportionnellement à l'angle, représente une ligne en forme de spirale (spirale d'Archimède). 

On emploie aussi, mais plaus rarement, le système bipolaire, dans lequel la position d'un point se détermine à l'aide de sa distance à deux points fixes. S'il s'agit de fixer la position d'un point dans l'espace, on imaginera trois plans fixes se coupant suivant trois droites Ox, Oy, Oz, qui sont les axes. Le point sera déterminé, si l'on connaît ses distances aux trois plans; ces distances, comptées parallèlement aux axes, sont les coordonnées du point. Le point sera entièrement déterminé par ses trois coordonnées, si l'on a soin de fixer au moyen d'un signe le sens dans lequel ces distances doivent être comptées, de même qu'on le fait dans la géométrie plane.

On fait usage également, pour la représentation des points dans l'espace, d'un système particulier de coordonnées polaires. Les éléments de ce système sont la distance du point à un point fixe ou le rayon vecteur P, l'angle B que celui-ci fait avec l'un des plans coordonnés, et l'angle y que fait la projection du rayon recteur sur ce plan avec une droite située aussi dans le même plan.