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Racine (mathématiques)

En mathématiques, on appelle racine la quantité qui, multipliée par elle-même et servant ainsi deux ou plusieurs fois de facteur, donne une autre quantité appelée puissance. Le terme de racine s'utilise aussi pour désigner la ou les solutions d'une équation : c'es-à-dire la ou les valeurs que peut prendre l'inconnue d'une équation pour satisfaire celle-ci. En algèbre, on désigne encore sous le nom de racine p-ième d'un polynôme un autre polynôme qui, élevé à la puissance p, reproduit le proposé.

Racine d'un nombre

Degré d'une racine. - Nombre indiquant combien de fois la racine est facteur dans la puissance. 

Racine carrée ou Racine deuxième. - La racine carrée d'un nombre est un nombre qui, multiplié par lui-même, reproduit le premier. Ainsi 5 est la racine carrée de 25, car 5 x 5 = 25. Par abréviation, la racine carrée s'indique au moyen du signe , qui s'appelle radical, et sous lequel on écrit le nombre proposé. Ex. : L'expression ,  se lit : racine carrée de 25.

Si un nombre a un ou deux chiffres, sa racine carrée a un chiffre, et, d'une façon générale, s'il a (2n-1) ou 2n chiffres, sa racine aura n chiffres.

Racine cubique ou Racine troisième. - Racine prise trois fois pour facteur dans la puissance. Autrement dit, la racine cubique d'un nombre est un second nombre qui, élevé au cube, reproduit le premier. On l'indique par le signe,  ; 3 est l'indice de la racine. Ex.:  s'énonce : racine cubique de 64. Quand un nombre a 3n, (3n-1) ou (3n-2) chiffres, sa racine cubique a n chiffres.

Racine n-ième. - Racine prise n fois pour facteur dans la puissance.

Extraction de la racine carrée d'un nombre.
Pour extraire la racine carrée d'un nombre entier quelconque 223.416 à une unité près-
1° on partage ce nombre en tranches de deux chiffres à partir de la droite (22.34.16; la dernière tranche à gauche n'a parfois qu'un chiffre;

2° on écrit à la racine le plus fort chiffre (4) dont le carré (16) soit susceptible de se soustraire de la tranche de gauche (22); 

3° à droite du reste (6), on abaisse la tranche suivante (34), dont on sépare par un point le chiffre à droite (63.4); la partie de gauche (63); forme un dividende et l'on prend pour diviseur le double du nombre déjà écrit à la racine (8); 

4° le quotient (7) est le chiffre suivant de la racine ou un chiffre trop fort; on l'essaye en l'inscrivant à droite du diviseur et en multipliant le nombre ainsi formé (87) par ce même chiffre (7); si ce produit (609) peut se retrancher du nombre (634) réalisé par le dividende et le chiffre séparé, le chiffre essayé est exact; on l'inscrit à la racine, sinon, on le diminue jusqu'à ce qu'on arrive à une soustraction possible; 

5° on répète les deux dernières opérations jusqu'à ce qu'on ait obtenu à la racine tous les chiffres cherchés (472).

Extraction d'une racine carrée.

Dans la pratique, on se dispense d'ordinaire d'écrire les produits (609, 1884) et lon fait immédiatement la soustraction, comme dans la division.

Pour extraire la racine carrée d'un nombre à 1/n près, on multiplie le nombre par le carré n² du dénominateur; on extrait, à une unité près, la racine carrée du produit et on tienne à cette racine pour dénominateur le dénominateur n de l'approximation demandée. D'après cela, pour extraire la racine carrée d'un nombre décimal avec un chiffre décimal exact, autrement dit à 1/10 près, on multiplie ce nombre par 100, on prend à une unité près la racine carrée de la partie entière et l'on sépare par une virgule le dernier chiffre du résultat. De même, pour extraire la racine carrée d'un nombre avec une approximation m/n on multiplie le nombre par le carré n²/m² de l'inverse de l'approximation; on extrait, à une unité près, la racine carrée de la partie entière du nombre obtenu, et on multiplie cette racine par la fraction m/n.

La racine carrée d'une fraction égale la racine carrée du numérateur, divisée par celle du dénominateur : si les deux termes de la fraction sont carrés parfaits, on prend la racine de chacun d'eux; si le dénominateur seul est carré parfait, on extrait la racine du numérateur à une unité près et on la divise par celle du dénominateur; si le dénominateur n'est pas carré parfait, ou le rend carré parfait en multipliant les deux termes de la fraction par le dénominateur, et on retombe sur le cas précédent. 

Pour extraire le racine cubique d'un nombre a une unité près : 

1° on partage ce nombre en tranches de trois chiffres à partir de la droite, la dernière tranche à gauche pouvant n'avoir qu'un ou deux chiffres; 

2° on écrit à la racine le plus fort chiffre dont le cube puisse se soustraire de Ia tranche de gauche; 

3° à droite du reste, on abaisse la tranche suivante, dont on sépare deux chiffres à droite (la partie de gauche forme un dividende, et l'on prend pour diviseur trois fois le carré du premier chiffre de la racine);

4° Ie quotient est le chiffre suivant de la racine ou un chiffre trop fort (on l'essaye, en faisant le cube de la racine déjà trouvée, et l'on cherche si ce cube peut se retrancher de la partie du nombre employée précédemment; si la soustraction est impossible, on diminue successivement ce second chiffre d'une unité jusqu'à ce qu'elle devienne possible).

Enfin, on répète les opérations 3° et 4° jusqu'à obtenir tous les chiffres de la racine.

Extraction d'une racine cubique

Pour extraire la racine cubique d'un nombre a 1/n près, on multiplie le nombre par le cube du dénominateur de l'approximation, ensuite on extrait à une unité près la racine cubique du produit, puis on donne n pour dénominateur à la racine trouvée. Pour extraire la racine cubique d'un nombre avec une approximation m/n. on multiplie le nombre par n3/m3, on extrait à une unité près la racine cubique de la partie entière du nombre obtenu, et on multiplie cette racine par m/n.

L'extraction de la racine cubique des fractions ordinaires ou décimales présente des cas similaires à ceux examinés pour la racine carrée.

Racines d'une équation

Les valeurs positives ou négatives des lettres qui rendent égaux les deux membres dune équation s'appellent ses racines. Toute équation du premier degré à une inconnue admet une seule racine. D'ordinaire, un système de n équations du premier degré à n inconnues admet également une solution unique: si le système n'a pas de solution, on le dit incompatible; quand il en comporte deux ou plus, on le nomme indéterminé. Les racines d'un système d'équations du premier degré, en nombre égal à celui des inconnues, sont des fractions avant pour dénominateur commun le déterminant du système des coefficients des inconnues et pour numérateurs les déterminants obtenus en remplaçant dans le dénominateur commun la colonne qui renferme les coefficients de l'inconnue cherchée par une colonne formée des seconds membres des équations proposées (règle de Cramer). Des méthodes de complexiés croissantes existent pour la résolution des équations du deuxième, du troisième et du quatrimème degré.

Les équations d'un degré supérieur au quatrième n'ont pas de racines exprimables algébriquement en fonction des coefticionts, et Abel, puis Galois ont fait voir qu'aucune des méthodes précédentes ne leur est applicable. Toutefois, pour les équations à coefficients numériques, on peut, sans connaître la forme algébrique des racines, trouver par des procédés multiples leurs valeurs numériques avec telle approximation désirée. Pour obtenir ces valeurs approchées, on sépare les racines, c'est-à-dire qu'on détermine pour chaque racine deux nombres comprenant cette racine et pas d'autre. La fixation des limites des racines ou détermination de deux nombres comprenant entre eux toutes les racines réelles facilite cette séparation. (NLI).

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Dictionnaire Idées et méthodes
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