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IntroductionDĂ©finitions et notations.DĂ©finition formelle. Un polynĂŽme Ă une indĂ©terminĂ©e est une expression de la forme : ![]() âą x est l'indĂ©terminĂ©e. âą anâ (le coefficient du terme xn) est appelĂ© le coefficient dominant. Il influence la forme gĂ©nĂ©rale de la courbe reprĂ©sentative du polynĂŽme. âą a0 est le terme constant , c'est-Ă -dire e terme sans variable, qui donne la valeur du polynĂŽme lorsque x est Ă©gal Ă 0.Notations usuelles. P(x) dĂ©signe le polynĂŽme, aixi reprĂ©sente un terme du polynĂŽme, ai dĂ©signe les coefficients, n est le degrĂ© du polynĂŽme. Exemple : Le polynĂŽme P(x)=3x4 â 2x2 + 5 a pour coefficients a4 = 3, a2=â2, a0 = 5, et son degrĂ© est 4.Les polynĂŽmes du premier degrĂ© (polynĂŽmes de degrĂ© 1) sont appelĂ©s polynĂŽmes linĂ©aires et sont associĂ©s aux fonctions affines. Les polynĂŽmes du second degrĂ© (polynĂŽmes de degrĂ© 2), sont dits polynĂŽmes quadratiques et sont associĂ©s aux fonctions quadratiques. ĂgalitĂ©
de polynĂŽmes.
Types de polynĂŽmes. âą PolynĂŽme constant. - PolynĂŽme de degrĂ© 0, c'est-Ă -dire de la forme P(x) = a0â, oĂč a0 â 0. Exemple : P(x) = 7.Ce qui N'EST PAS un polynĂŽme : P(x) = 2/x + 1 (division par une variable)PolynĂŽmes et fonctions polynomiales. Une fonction polynomiale est une fonction obtenue en Ă©valuant un polynĂŽme pour diffĂ©rentes valeurs de la variable. En d'autres termes, si P(x) est un polynĂŽme, alors la fonction f(x) = P(x) est la fonction polynomiale associĂ©e. Une fonction polynomiale prend une valeur en entrĂ©e (la valeur de x) et retourne une valeur en sortie (la valeur du polynĂŽme Ă©valuĂ© en x). Autrement dit, le polynĂŽme est la description formelle, l'expression algĂ©brique. C'est une entitĂ© abstraite qui ne dĂ©pend pas d'une valeur de x. La fonction polynomiale, quant Ă elle, est l'application concrĂšte de cette expression. Elle prend des valeurs pour la variable et produit des rĂ©sultats. Un mĂȘme polynĂŽme dĂ©finit une seule fonction polynomiale. L'ensemble des fonctions polynomiales est un sous-ensemble particulier de toutes les fonctions possibles. Elles ont la propriĂ©tĂ© d'ĂȘtre dĂ©finies par une expression polynomiale. Les fonctions polynomiales sont continues et dĂ©rivables sur tout leur domaine de dĂ©finition (gĂ©nĂ©ralement tous les nombres rĂ©els ou complexes). C'est une propriĂ©tĂ© importante qui les rend utiles dans de nombreux domaines. Les racines d'un polynĂŽme (les valeurs de x qui annulent le polynĂŽme) correspondent aux points oĂč la fonction polynomiale croise l'axe des x (ses zĂ©ros). OpĂ©rations sur les polynĂŽmesAddition, soustraction et multiplication de polynĂŽmes.Addition et soustraction de polynĂŽmes. L'addition de deux polynĂŽmes P(x) et Q(x) consiste Ă additionner les coefficients des termes de mĂȘme degrĂ©. P(x) = anxn + ... + a1x + a0, Q(x) = bmxm +... + b1x + b0 La somme est donnĂ©e par : La soustraction fonctionne de la mĂȘme maniĂšre, en soustrayant les coefficients : La multiplication de deux polynĂŽmes P(x) et Q(x)consiste Ă calculer la somme des produits des termes de P(x) avec ceux de Q(x). âą CommutativitĂ©.Le degrĂ© du polynĂŽme somme et produit.Addition : P(x)+Q(x) = Q(x)+P(x).âą AssociativitĂ©. Si P(x) et Q(x) sont des polynĂŽmes, le degrĂ© de leur somme P(x) + Q(x) est : degâĄ(P(x) + Q(x)) = maxâĄ(degâĄ(P(x)),degâĄ(Q(x))) sauf si les termes de plus haut degrĂ© s'annulent, auquel cas le degrĂ© diminue. Exemple : Si P(x) est de degrĂ© n et Q(x) est de degrĂ© m, alors le degrĂ© du produit est donnĂ© par :P(x) = 2x3+x+1, Q(x) = â2x3+5x; degâĄ(P(x)â Q(x)) = n + m P(x)=3x2+x+1, Q(x) = x4â2Autres opĂ©rations. On consacrera ci-dessus des dĂ©veloppements particuliers Ă deux autres opĂ©rations sur les polynĂŽmes : âą La division euclidienne, qui est une mĂ©thode de division de polynĂŽmes semblable Ă la division euclidienne d'entiers.IdentitĂ©s remarquables. On appelle identitĂ©s remarquables certaines identitĂ©s rencontrĂ©es frĂ©quemment lorsqu'on travaille sur les polynĂŽmes et qui permettent alors de simplifier coinsidĂ©rablement les calculs. Elles permettent de dĂ©velopper ou de factoriser (= dĂ©composer en un produit de facteurs) des expressions polynomiales rapidement, Ă©vitant ainsi de longues multiplications. Elles sont essentielles pour factoriser des polynĂŽmes et trouver les racines d'Ă©quations. Elles permettent de transformer des expressions polynomiales en des formes plus adaptĂ©es Ă certaines manipulations ou dĂ©monstrations. Elles facilitent aussi le calcul mental pour certaines expressions. IdentitĂ©s
remarquables de base (degré 2).
Exemple : (x + 3)ÂČ = xÂČ + 2. x.3 + 3ÂČ = xÂČ + 6x + 9CarrĂ© d'une diffĂ©rence : (a - b)ÂČ = aÂČ - 2ab + bÂČ Exemple : (2y - 1)ÂČ = (2y)ÂČ - 2. 2y.1 + 1ÂČ = 4yÂČ - 4y + 1DiffĂ©rence de deux carrĂ©s : aÂČ - bÂČ = (a + b)(a - b) Exemple : xÂČ - 16 = xÂČ - 4ÂČ = (x + 4)(x - 4)IdentitĂ©s remarquables de degrĂ© 3 Cube d'une somme : (a + b)Âł = aÂł + 3aÂČb + 3abÂČ + bÂł Exemple : (x + 2)Âł = xÂł + 3. xÂČ. 2 + 3. x. 2ÂČ + 2Âł = xÂł + 6xÂČ + 12x + 8Cube d'une diffĂ©rence : (a - b)Âł = aÂł - 3aÂČb + 3abÂČ - bÂł Exemple : (y - 1)Âł = yÂł - 3.yÂČ.1 + 3. y.1ÂČ - 1Âł = yÂł - 3yÂČ + 3y - 1Somme de deux cubes : aÂł + bÂł = (a + b)(aÂČ - ab + bÂČ) Exemple : xÂł + 8 = xÂł + 2Âł = (x + 2)(xÂČ - 2x + 4)DiffĂ©rence de deux cubes : aÂł - bÂł = (a - b)(aÂČ + ab + bÂČ) Exemple : 27yÂł - 1 = (3y)Âł - 1Âł = (3y - 1)(9yÂČ + 3y + 1) Division euclidienne et racinesDivision euclidienne des polynĂŽmes.PrĂ©sentation de l'algorithme de division euclidienne. La division euclidienne des polynĂŽmes consiste Ă diviser un polynĂŽme P(x) (appelĂ© dividende) par un autre polynĂŽme D(x) (appelĂ© diviseur, de degrĂ© au moins 1) pour obtenir un quotient Q(x) et un reste R(x), tels que : P(x)=D(x)/Q(x)+R(x) oĂč degâĄ(R(x)) < degâĄ(D(x)), Q(x) et R(x) sont uniques. Ătapes de l'algorithme Ă la main : Initialisation. - Ăcrire le dividende P(x) et le diviseur D(x).ThĂ©orĂšme de la division euclidienne. Soient P(x) et D(x) deux polynĂŽmes avec D(x) â 0. Alors, il existe deux polynĂŽmes uniques Q(x) (quotient) et R(x) (reste) tels que : P(x) = D(x).Q(x)+R(x), avec degâĄ(R(x)) < degâĄ(D(x)), Q(x) et R(x) sont dĂ©terminĂ©s de maniĂšre unique. Esquisse de la dĂ©monstration : l'existence repose sur la construction algorithmique dĂ©crite ci-dessus. L'unicitĂ© vient du fait que si deux paires (Q1(x),R1(x)) et (Q2(x),R2(x)) satisfaisaient la relation, alors D(x).(Q1(x)âQ2(x)) = R2(x)âR1(x). Comme le degrĂ© de R2(x)âR1(x) est strictement infĂ©rieur Ă celui de D(x), Q1(x) = Q2(x) et R1(x) = R2(x). Exemple.
Ătapes :1) Diviser le terme dominant de P(x) (x3) par le terme dominant de D(x) (x) : x3/x=x2. Cas particulier : diviseur de la forme xâa (rĂšgle de Horner).Ajouter x2 au quotient. Lorsque le diviseur est de la forme xâa, la division peut ĂȘtre simplifiĂ©e par la rĂšgle de Horner. MĂ©thode : 1) Ăcrivez les coefficients du polynĂŽme P(x).Exemple : diviser P(x)=2x3â6x2+2xâ4 par xâ2. Coefficients : 2, â6, 2, â4; diviseur : a=2a=2. Ătapes : 1) 2 (premier coefficient).RĂ©sultat : Le quotient est 2x2â2xâ2, et le reste est â8. Racines d'un polynĂŽme.
ThéorÚme
du facteur.
Si a est une racine du polynĂŽme P(x), alors le polynĂŽme P(x) est divisible par (xâa), c'est-Ă -dire : P(x) = (xâa).Q(x), oĂč Q(x) est un autre polynĂŽme de degrĂ© infĂ©rieur. Exemple : Si P(x) = x3â3x2+3xâ1 et P(1)=0, alors (xâ1) est un facteur de P(x). MultiplicitĂ©
d'une racine.
Si P(x) = (xâ2)2(x+1) alors : x = 2 est une racine de multiplicitĂ© 2;Recherche de racines Ă©videntes. Pour les polynĂŽmes Ă coefficients entiers, on peut parfois deviner les racines en testant des valeurs simples comme x=0, ±1, ±2, ... Exemples : Si P(x)=x3âx2â2x, on peut tester x=0 : P(0)=03â02â2â 0=0. Donc x=0 est une racine. ThĂ©orĂšme fondamental de l'algĂšbreLe thĂ©orĂšme fondamental de l'agĂšbre (ou thĂ©orĂšme de d'Alembert-Gauss) affirme l'existence d'au moins une racine complexe pour tout polynĂŽme non constant P(x) Ă coefficients complexes.ConsĂ©quences
du théorÚme fondamental de l'algÚbre.
Nombre
de racines (multiplicité incluse).
Lien
avec les polynÎmes à coefficients réels.
Applications et
importance.
Ătude
des propriétés algébriques.
Lien
avec la géométrie complexe.
Formules de ViĂšteLes formules de ViĂšte permettent d'Ă©tablir des relations entre les coefficients d'un polynĂŽme et ses racines. Elles sont particuliĂšrement utiles pour les polynĂŽmes de degrĂ© 2 et peuvent ĂȘtre gĂ©nĂ©ralisĂ©es pour des polynĂŽmes de degrĂ©s supĂ©rieurs.Cas des polynĂŽmes
de degré 2.
Somme des racines : x1 + x2 = âb/a.DĂ©monstration : par dĂ©finition, les racines x1â et x2â vĂ©rifient P(x) = 0, donc : ax2+bx+c=a(xâx1)(xâx2). En dĂ©veloppant : ax2 + bx + c = a(x2â(x1 + x2)x+x1x2). En identifiant les coefficients, on obtient : Le terme en x donne âa(x1 + x2)=b, donc x1 + x2 = âb/aâ. Le terme constant donne a.x1x2 = c, donc x1.x2 = c/a. GĂ©nĂ©ralisation
pour les polynÎmes de degré n.
Somme des racines (prises avec multiplicitĂ©) : x1 + x2+...+ xn =(âanâ1an)/anUtilisation pratiques. Ces relations permettent de reconstituer les coefficients d'un polynĂŽme Ă partir de ses racines, ou inversement : âą RĂ©solution d'Ă©quations. - Les formules de ViĂšte permettent de rĂ©soudre des Ă©quations en identifiant les coefficients et les racines. Factorisation et relations coefficients-racinesLa factorisation des polynĂŽmes consiste Ă Ă©crire un polynĂŽme comme un produit de polynĂŽmes de degrĂ© infĂ©rieur, appelĂ©s facteurs, qui ne peuvent pas ĂȘtre dĂ©composĂ©s plus loin. Ces facteurs sont qualifiĂ©s d'irrĂ©ductibles.PolynĂŽmes irrĂ©ductibles.
SurFactorisation sur ![]() ![]() Sur ![]() Sur Cas
des polynÎmes de degré 2.
Si Î > 0, le polynĂŽme a deux racine rĂ©elles distinctes.Les racines sont donnĂ©es par : ![]() Dans le cas oĂč Î = 0, on aura donc : x1 = x2 = -/b/2a. Exemple : P(x) = x2â 5x + 6. Î = b2â4ac = 1 >0 . Deux racines rĂ©elles : x1 = 2x1 â= 2, x2 = 3x2â = 3. P(x)=(xâ2)(xâ3)
Exemple 2 : Q(x) = x3 + x2 + x + 1. Racines complexes x=â1 (multiplicitĂ© 2) et x=âi, ou factorisation directe : Q(x)=(x+1)2(xâi). Cas
des polynÎmes de degré 4.
Sur Sur PolynĂŽmes Ă
coefficients réels et racines complexes.
P(x)=x4+ x3+x2+x+1 SurRĂ©sumĂ© des Ă©tapes gĂ©nĂ©rales de factorisation. Chercher les racines Ă©videntes ou par des mĂ©thodes comme Î pour des degrĂ©s simples. Jalons historiquesLes civilisations babylonienne et Ă©gyptienne (environ 2000 Ă 1600 av. J.-C.) possĂ©daient des connaissances pratiques pour rĂ©soudre des problĂšmes impliquant des Ă©quations du premier et du second degrĂ© (Ă©quations linĂ©aires et quadratiques). Les Babyloniens, en particulier, avaient dĂ©veloppĂ© des mĂ©thodes algorithmiques pour rĂ©soudre des Ă©quations quadratiques, mĂȘme si leur notation Ă©tait encore rhĂ©torique (sans symboles). Les mathĂ©maticiens grecs (environ 600 av. JC Ă 300 ap. JC) comme Euclide, bien que se concentrant principalement sur la gĂ©omĂ©trie, utilisaient des concepts gĂ©omĂ©triques pour reprĂ©senter des idĂ©es algĂ©briques. L'algĂšbre gĂ©omĂ©trique d'Euclide dans les ĂlĂ©ments est une forme indirecte d'Ă©tude des relations polynomiales. Diophante d'Alexandrie (IIIe siĂšcle ap. JC) est considĂ©rĂ© comme l'un des prĂ©curseurs de l'algĂšbre moderne. Son oeuvre Arithmetica traite de la rĂ©solution d'Ă©quations, y compris des Ă©quations polynomiales, bien que son approche soit davantage axĂ©e sur des cas spĂ©cifiques que sur des mĂ©thodes gĂ©nĂ©rales.Au Moyen Ăge, Al-Khwarizmi (IXe siĂšcle), dans son ouvrage KitÄb al-mukhtaáčŁar fÄ« áž„isÄb al-jabr wa-l-muqÄbala (AbrĂ©gĂ© du calcul par la restauration et la comparaison), prĂ©sente des mĂ©thodes systĂ©matiques pour rĂ©soudre des Ă©quations du premier et du second degrĂ©, introduisant le terme al-jabr ( = restauration) qui a donnĂ© naissance au mot "algĂšbre". Il considĂ©rait les Ă©quations de maniĂšre plus gĂ©nĂ©rale que les Grecs. Omar Khayyam (XIe siĂšcle) a apportĂ© des contributions significatives Ă la thĂ©orie des Ă©quations cubiques. Il a proposĂ© des solutions gĂ©omĂ©triques en utilisant des intersections de coniques. A la Renaissance, des mathĂ©maticiens italiens comme Scipione del Ferro, NiccolĂČ Tartaglia, Gerolamo Cardano et Lodovico Ferrari ont dĂ©couvert des formules gĂ©nĂ©rales pour rĂ©soudre les Ă©quations cubiques (degrĂ© 3) et quartiques (degrĂ© 4). La publication de ces solutions dans Ars Magna de Cardano en 1545 marque un tournant majeur. La nĂ©cessitĂ© de manipuler les racines carrĂ©es de nombres nĂ©gatifs dans les formules des Ă©quations cubiques a conduit Ă l'acceptation progressive des nombres complexes. Rafael Bombelli a contribuĂ© Ă clarifier l'utilisation de ces nombres. François ViĂšte (XVIe siĂšcle) a introduit une notation algĂ©brique symbolique plus sophistiquĂ©e, utilisant des lettres pour reprĂ©senter les inconnues et les coefficients. Cela a permis de manipuler les polynĂŽmes de maniĂšre plus abstraite et gĂ©nĂ©rale. RenĂ© Descartes, dans sa GĂ©omĂ©trie (1637) a Ă©tabli un lien fort entre l'algĂšbre et la gĂ©omĂ©trie, ouvrant la voie Ă la gĂ©omĂ©trie analytique. Il a notamment Ă©noncĂ© le thĂ©orĂšme de Descartes sur la rĂšgle des signes, qui donne des informations sur le nombre de racines positives et nĂ©gatives d'un polynĂŽme. Le dĂ©veloppement du calcul infinitĂ©simal (Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz) a mis en Ă©vidence l'importance des polynĂŽmes comme approximations de fonctions plus complexes (par le biais des sĂ©ries de Taylor, par exemple). Newton a Ă©galement travaillĂ© sur l'interpolation polynomiale. Au XVIIIe siĂšcle, Leonhard Euler et Jean-Baptiste le Rond d'Alembert ont contribuĂ© Ă la dĂ©monstration du ThĂ©orĂšme Fondamental de l'AlgĂšbre, qui stipule que tout polynĂŽme non constant Ă coefficients complexes a au moins une racine complexe. La dĂ©monstration rigoureuse a nĂ©cessitĂ© plusieurs tentatives et a finalement Ă©tĂ© achevĂ©e par Gauss. Joseph-Louis Lagrange a continuĂ© Ă Ă©tudier les Ă©quations polynomiales et a dĂ©veloppĂ© des mĂ©thodes d'interpolation polynomiale. En 1824, Niels Henrik Abel a prouvĂ© qu'il n'existe pas de formule gĂ©nĂ©rale (utilisant uniquement les opĂ©rations arithmĂ©tiques et l'extraction de racines) pour rĂ©soudre les Ă©quations polynomiales de degrĂ© cinq ou plus. Les travaux rĂ©volutionnaires de Galois (publiĂ©s aprĂšs sa mort en 1832) ont introduit la thĂ©orie des groupes pour Ă©tudier la solvabilitĂ© des Ă©quations polynomiales par radicaux. Il a montrĂ© qu'une Ă©quation polynomiale est soluble par radicaux si et seulement si le groupe de Galois associĂ© est rĂ©soluble. Les concepts de corps, d'anneaux et d'idĂ©aux ont Ă©mergĂ© ensuite, permettant une Ă©tude plus abstraite et gĂ©nĂ©rale des polynĂŽmes. Les polynĂŽmes ont Ă©tĂ© dĂ©finis sur diffĂ©rents types d'anneaux et de corps. Karl Weierstrass et Augustin-Louis Cauchy ont apportĂ© une rigueur accrue Ă l'analyse, ce qui a eu des implications pour la comprĂ©hension des propriĂ©tĂ©s des polynĂŽmes et de leurs racines. A partir du XXe, les polynĂŽmes sont devenus des outils fondamentaux dans de nombreux domaines des mathĂ©matiques, des sciences et de l'ingĂ©nierie. Ils sont utilisĂ©s en analyse numĂ©rique pour l'approximation de fonctions, en statistique, en informatique (thĂ©orie des codes, cryptographie), en physique, en chimie, etc. Le dĂ©veloppement des ordinateurs a rendu possible la rĂ©solution numĂ©rique d'Ă©quations polynomiales complexes et l'Ă©tude de leurs propriĂ©tĂ©s Ă grande Ă©chelle. Des algorithmes efficaces ont Ă©tĂ© dĂ©veloppĂ©s pour trouver les racines des polynĂŽmes. L'Ă©tude des polynĂŽmes Ă plusieurs variables est devenue un domaine important de l'algĂšbre commutative et de la gĂ©omĂ©trie algĂ©brique. |
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