Introduction
Les limitations des
nombres réels
Les limitations
des nombres réels, en particulier l'absence de
racines carrées de nombres négatifs et l'incapacité à résoudre toutes
les équations polynomiales, ont conduit à l'introduction des nombres
complexes, qui sont une extension naturelle du corps des nombres réels,
motivée par la nécessité de résoudre tous les types d'équations polynomiales
et de garantir la clôture algébrique.
Absence
de solutions réelles pour les racines carrées de nombres négatifs.
Alors que le corps
des réels permet de
résoudre certaines équations polynomiales (par exemple, x² - 4 = 0 a
des solutions réelles x = 2 et x = -2), il est insuffisant pour garantir
des solutions à toutes les équations polynomiales. En particulier, les
polynômes
de degré pair avec un discriminant négatif n'ont pas de racines réelles.
Par exemple, l'équation x² + x + 1 = 0 n'a pas de solutions réelles
car son discriminant (Δ = b² - 4ac = -3) est négatif.
Cela tient à ce
que la définition des nombres réels exclut la possibilité de trouver
un nombre réel qui, multiplié par lui-même, donne un nombre négatif.
Par exemple, il n'existe aucun nombre réel x tel que x² = -1. Cette
incapacité se généralise à toute racine carrée de nombre négatif
et est un frein majeur dans de nombreux problèmes mathématiques et physiques.
Incomplétude
algébrique.
Un corps est dit
algébriquement clos s'il contient toutes les solutions de toutes les équations
polynomiales à coefficients dans ce corps ( Les
structures algébriques). Si un corps K est algébriquement
clos, alors tout polynôme de degré n à coefficients
dans K a exactement n racines (comptées avec leur multiplicité). Un corps
algébriquement clos ne peut pas avoir d'extensions algébriques non triviales
(c'est-à -dire, différentes de lui-même). Le corps
des nombres réels n'est pas algébriquement clos. Cette absence de clôture
algébrique limite l'utilisation des nombres réels dans certains domaines
de l'algèbre et des mathématiques en général.
Jalons
historiques. - Les Grecs anciens, comme Euclide,
considéraient les racines carrées de nombres négatifs comme impossibles,
car leur conception des nombres était strictement géométrique. Au Moyen
Âge, les mathématiciens arabes, comme Al-Khwarizmi,
travaillent sur des équations quadratiques, mais évitent les racines
négatives, considérées comme sans signification. Gerolamo
Cardano (1501-1576) : Dans son ouvrage Ars Magna (1545), Cardano
publie des méthodes pour résoudre des équations cubiques. Lorsqu'il
rencontre des racines négatives sous forme de ,
il les note mais les considère comme des "absurdités". Cependant, il
continue à les manipuler de manière formelle, posant ainsi les bases
des nombres complexes. Rafael Bombelli (1526-1572)
approfondit les travaux de Cardano et accepte pleinement l'idée des
racines imaginaires. Il introduit des règles précises pour travailler
avec
​ et développe une arithmétique des nombres complexes. René
Descartes (1637) introduit le terme "nombre imaginaire" pour désigner
​, mais avec une connotation péjorative, car il les considère comme
inutiles. John Wallis (1685) défend l'idée
que les nombres imaginaires ont une signification géométrique, ce qui
ouvre la porte à des interprétations plus rigoureuses. Abraham
de Moivre (1667-1754) découvre la formule qui porte son nom : (cosâ¡Î¸
+ isinâ¡Î¸)n = cosâ¡(nθ) + isinâ¡(nθ).
Cette formule relie l'algèbre des nombres complexes à la trigonométrie.
Leonhard Euler (1707-1783) établit la célèbre
identité d'Euler : eiπ+1=0.
Il contribue à la notation moderne i, tel que i²
= -1,​ et montre comment les nombres complexes
sont liés aux exponentielles et aux fonctions
trigonométriques. Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
défend l'idée que les équations polynomiales de degré n ont exactement
n solutions complexes (théorème fondamental de l'algèbre). Il donne
également une représentation géométrique des nombres complexes sous
forme de points dans le plan (plan de Gauss). Caspar Wessel (1799) est
le premier à représenter les nombres complexes comme des vecteurs dans
un plan. Augustin-Louis Cauchy et Karl
Weierstrass éveloppent l'analyse complexe, centrée sur les fonctions
de variables complexes. Depuis, les nombres complexes sont devenus essentiels
en physique (mécanique quantique, électromagnétisme (impédance), et
dynamique des fluides), en informatique (les fractales,
comme l'ensemble de Mandelbrot, sont générées par des fonctions de variables
complexes)., en ingénierie (analyse des systèmes et traitement
du signal).
Introduction de l'ensemble
des nombres complexes.
Définition
du nombre imaginaire i.
En introduisant
l'unité imaginaire i, définie comme i² = -1, on crée une extension
algébrique de , un nouveau
corps, celui des nombres complexes ,
qui permet de manipuler et d'exprimer les racines carrées de nombres négatifs.
Le corps des nombres complexes est algébriquement clos, ce qui lui confère
une propriété fondamentale pour la résolution d'équations. En travaillant
avec les nombres complexes, on peut résoudre toutes les équations polynomiales,
même celles qui n'ont pas de solutions réelles.
Définition
d'un nombre complexe.
Un nombre complexe
est un élément de l'ensemble ,
défini formellement comme une paire ordonnée de nombres réels (a,b),
avec des règles spécifiques pour les opérations :
= {(a,b) | a, b  },
où a est appelé la partie réelle et b la partie imaginaire.
Représentation
sous forme algébrique.
Il existe plusieurs
façon de noter les nombres complexes. Dans leur représentaion algébrique,
la paire ordonnée z = (a, b) est notée : z = a+ib, où i est l'unité
imaginaire ( i² = -1), a = Re(z) la partie réelle et b = Im(z) la partie
imaginaire.
Egalité
de deux nombres complexes z et z' :
z = z' <=>
[ Re(z) = Re(z') et Im(z) = Im(z') ].
Avec cette convention
d'écriture, l'ensemble des nombres complexes
pourra être défini comme :
= {a + ib) | a, b  ,
et i² = -1}.
Cas particuliers
:
Si b=0,
alors : z = az est un nombre réel (z  ).
Si a=0, alors : z
= ib est un nombre imaginaire pur.
Si a = 0 et b = 1,
alors : z = i = (0, 1).
Opérations algébriques
sur les nombres complexes
Ces définitions prolongent
les propriétés classiques des opérations algébriques.
Addition de deux
nombres complexes.
La règle pour additionner
deux nombres complexes z1 = (a1,
b1) et z2 = (a2,
b2) est :
z1
+ z2 = (a1 + a2,
b1 + b2).
En notation algébrique
: z1 + z2 = (a1
+
ib1) + (a2 + ib2)
= a1 + a2 + i(b1+
b2).
Propriétés.
L'addition des nombres
complexes a les propriétés suivantes :
• L'addition
est une opération interne : la somme de deux nombres complexes est un
nombre complexe.
• L'addition est
comutative : pour tout z et z'  ,
on a z+z' = z' +z.
• L'addition est
associative : quels que soient x, y, z  ,
on a : x+(y+z) = (x+y)+ z.
• Il existe dans
un élément neutre pour l'addition : 0 = (0, 0) ou 0 = 0+i0; autrement
dit, quel que soit z, z+0 = 0+z = z.
• Tout élément
z de a un symétrique
pour l'addition, son opposé : z' est l'opposé de z si z +z' = 0,
d'où z' = -z = (-a, - b) = -(a+ib) = -a - ib.
Ces propriétés réunies
confèrent à ( , +), c'est-Ã
dire à l'ensemble des nombres complexes muni de l'addition, la structure
d'un groupe abélien (ou commutatif).
Soustraction.
La définition de
la soustraction découle des propriétés de l'addition. Soustraire le
nombre z2 au nombre z1 consiste
à faire la somme de z1 et de l'opposé de z2
(soit -z2). La règle pour soustraire deux nombres
complexes z1 = (a1, b1)
et z2 = (a2, b2)
est :
z1
- z2 = (a1 - a2,
b1 - b2).
En notation algébrique
: z1 - z2 = (a1
+
ib1) - (a2 + ib2)
= (a1 - a2) + i(b1
- b2).
Multiplication
de deux nombres complexes.
La règle pour multiplier
deux nombres complexes est :
z1.z2
= (a1a2 − b1b2,
a1b2 + a2b1),
Soit, en notation
algébrique : z1.z2 = (a1a2
- b1b2) + i(a1b2
+ a2b1)
Cette formule découle
de la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition et
du fait que i² = -1.
Propriétés.
L'addition des nombres
complexes a les propriétés suivantes :
• La multiplication
est une opération interne : le produit de deux nombres complexes est un
nombre complexe.
• La multiplication
est commutative : pour tout z et z'  ,
on a z.z' = z'.z.
• La multiplication
est associative : quels que soient x, y, z  ,
on a : x(yz) = (xy)z.
• La multiplication
est distributive sur l'addition : x.(y + z) = x.y + x.z.
• Il existe dans
un élément neutre pour la multiplication : 1 = (1, 0) ou 1 = 1+i0; autrement
dit, quel que soit z, on a z.1 = 1.z = z.
Si l'on combine aux
propriétés de la multiplication les propriétés de ( ,
+), qui en faisaient un groupe commutatif, alors ( ,
+, . ), c'est-à dire à l'ensemble des nombres complexes muni de l'addition
et de la multiplication, a une structure d'anneau
unitaire commutatif.
Multiplication
d'un nombre complexe par un scalaire.
La multiplication
d'un nombre complexe z par un un nombre réel (scalaire) k est un nombre
complexe : kz = zk = z'. En notation algébrique : k(a+ib) = ka+ikb.
Cette loi de composition
externe, notée . et définie dans
x , vérifie les quatre
propriétés suivantes pour tout scalaire k, p et pour tout nombre complexe
z, z'-
:
• Associativité
: k.(p.z) = (kp).z;
• Distributivité
par rapport à l'addition dans
: (k + p).z = (k.z) + (p.z);
• Distributivité
par rapport à l'addition dans
: k.(z +z') = (k.z) + (k. z');
Si l'on ajoute que ,
muni de la multiplication possède un élément neutre (1), tel que 1.z
= z, il s'ensuit que ( ,
+, .), dont on sait déjà que (
+) est un groupe abélien, est aussi un espace vectoriel sur .
Envisager comme un espace
vectoriel ajoute de la souplesse aux usages que lon peut faire des nombres
complexes ( L'agèbre
linéaire).
Base
et dimension de l'espace vectoriel.
L'ensemble {1, i}
forme une base de en
tant qu'espace vectoriel sur ,
car tout z 
peut s'écrire de manière unique comme : z=1.a + i.b, avec a,b  .
L'espace vectoriel sur
est de dimension 2, car la base {1, i} contient deux éléments.
Conjugaison complexe.
Conjugué
complexe.
Le conjugué d'un
nombre complexe z = (a, b) est noté
et est défini par
= (a, -b). Soit, en notation algébrique, si z = a + bi, alors
= a - ib.
Propriétés
du conjugué.
Les définitions
données ci-dessus permettent de vérifier facilement les identités suivantes
:
Conjugué
du conjugué : z̄̄ = z,
Addition d'un nombre
avec son conjugué : z+z̄ = 2Re(z),
Soustraction du conjugué
d'un nombre : z-z̄ = 2iIm(z),
Multiplication d'un
nombre complexe avec son conjugué : z z̄ = a² + b².
Division.
Multiplication
par le conjugué pour obtenir un dénominateur réel.
La division de nombres
complexes se fait en multipliant le numérateur et le dénominateur par
le conjugué du dénominateur. Cette opération permet d'éliminer la partie
imaginaire du dénominateur, ce qui conduit à une expression du résultat
sous forme algébrique (a + ib).
Si on a deux nombres
complexes z1 = a + ib et z2 =
c + id (si z2 ≠0), pour calculer la division
z1 / z2, on procède de la manière
suivante :
1) Multiplication
par le conjugué du dénominateur. On multiplie le numérateur et le dénominateur
par le conjugué de z₂, qui est z̄₂ = c - id.
z1 / z2 = (a + ib)
/ (c + id) = [(a + ib) . (c - id)] / [(c + id) .(c - id)]
2) Développement
des produits. On effectue la multiplication au numérateur et au dénominateur.
Numérateur
: (a + ib)(c - id) = ac - iad + ibc - i²bd
= ac - adi + bci + bd
= (ac + bd) + i(bc - ad)
Dénominateur : (c
+ id)(c - id) = c² - (id)²
= c² + d²
3) Simplification et
expression sous forme algébrique. On obtient donc :
z1
/ z2 = [(ac + bd) + i(bc - ad)] / (c² + d²)
= ((ac + bd) / (c² + d²)) + i. ((bc - ad) / (c² + d²))
Le
résultat est un nombre complexe sous la forme x + iy, où
x = (ac + bd) / (c² + d²) est la partie réelle.
y = (bc - ad) / (c² + d²) est la partie imaginaire.
Exemple
concret.
Calculons (2 + i3)
/ (1 - i):
Conjugué
du dénominateur : Le conjugué de (1 - i) est (1 + i).
Multiplication
: (2 + i3) / (1 - i) = [(2 + i3)(1 + i)] / [(1 - i)(1 + i)]
Développement :
Numérateur
: (2 + i3)(1 + i) = 2 + i2 + i3 + i²3
= 2 + i5 - 3 = -1 + i5
Dénominateur : (1
- i)(1 + i) = 1² - i² = 1 + 1 = 2
Simplification : (-1
+ i5) / 2 = -1/2 + i5/2, donc, (2 + i3) / (1 - i) = -1/2 + i5/2
Inverse
d'un nombre complexe.
L'inverse (symétrique
pour la multiplication) d'un nombre complexe z (si z ≠0)
est le nombre z' tel que z.z' = 1. On le notera 1/z ou z-1.
Soit un nombre complexe
z exprimé sous forme algébrique : z = a + ib, où a et b sont des nombres
réels, et i est l'unité imaginaire. L'expression de l'inverse de z s'obtient
en divisant 1 par z, en suivant les étapes que l'on vient de dire. L'inverse
de z est alors donné par la formule suivante : 1/z = (a - ib) / (a² +
b²).
Points clés : l'inverse
d'un nombre complexe z existe à condition que z soit différent de zéro
(c'est-à -dire, a ≠0 ou b ≠0). L'inverse d'un nombre complexe, lorsqu'il
existe, est unique.
Puissances de
i.
Le
cycle des puissances de i.
iâ° = 1
(par définition, n'importe quel nombre non nul à la puissance 0 est égal
à 1)
i¹ = i (par définition)
i² = -1 (c'est
la définition de l'unité imaginaire)
i³ = i² . i =
-1. i = -i
iⴠ= i² . i²
= -1 . -1 = 1
A partir de là , le
cycle recommence : on observe une périodicité de 4. Cela signifie que
pour tout entier k : i4k = 1,
i(4k + 1) = i, i(4k
+ 2) = -1, i(4k + 3)
= -i, etc.
On dira que les puissances
de i sont cycliques et suivent le schéma simple : 1, i, -1, -i.
Pour trouver in, il suffit de regarder
le reste de la division de n par 4. On suivra donc les étapes suivantes
:
1) Diviser
l'exposant n par 4.
2) Considérer le
reste de cette division (il sera toujours 0, 1, 2 ou 3).
3) Utiliser le reste
comme nouvel exposant de i :
Reste 0
: iâ¿ = iâ° = 1
Reste 1 : iâ¿ =
i¹ = i
Reste 2 : iâ¿ =
i² = -1
Reste 3 : iâ¿ =
i³ = -i
Exemples.
i¹Ⱐ: 10
/ 4 = 2 reste 2, donc, i¹Ⱐ= i² = -1
i²ⵠ: 25 / 4
= 6 reste 1, donc, i²ⵠ= i¹ = i
i¹â°â° : 100
/ 4 = 25 reste 0, donc, i¹â°â° = iâ° = 1
i¹â°Â¹ : 101 /
4 = 25 reste 1, donc, i¹â°Â¹ = i¹ = i
i¹â°Â² : 102 /
4 = 25 reste 2, donc, i¹â°Â² = i² = -1
i¹â°Â³ : 103 /
4 = 25 reste 3, donc, i¹â°Â³ = i³ = -i
Représentation géométrique
des nombres complexes
Le plan complexe.
Le plan complexe
est une représentation géométrique des nombres complexes sur un plan
cartésien. Ce plan est parfois appelé le plan d'Argand ou plan d'Argand-Cauchy.
On peut d'abord remarquer
que la définition même de l'ensemble des nombres complexes
se fonde sur une correspondance bijective avec ²
, selon une relation naturelle et simple : z = x + iy ↔ (x, y). Ensuite,
tout dépend de la manière dont on envisage ²
du point de vue géométrique.
Plan
cartésien.
Si R² est traité
comme plan cartésien (repère orthonormé); on peut représenter un nombre
complexe z = x + iy sous la forme d'un point M de coordonnées x et y :
M(x, y).
On nomme
affixe
d'un point le nombre complexe qui représente ses coordonnées dans le
plan complexe. On nomme point image d'un nombre complexe le point
du plan complexe qui correspond à ce nombre.
L'axe des abscisses
(axe des x ou axe horizontal) du plan cartésien correspond à la partie
réelle des nombres complexes; on parlera d'axe réel. L'axe des
ordonnées (axe des y ou axe vertical) correspond à la partie imaginaire
des nombres complexes; on parlera d'axe imaginaire.
Plan
vectoriel.
Dans
envisagé comme un plan vectoriel euclidien, de base orthonormée (1, i),
le même nombre complexe z = x + iy peut être associé au vecteur
de coordonnées x, et y.
Le même vocabulaire
est repris : le vecteur est l'image du nombre complexe correspondant,
et ce nombre est l'affixe du vecteur qui lui est associé. L'axe des x
est l'axe réel, et l'axe des y est l'axe imaginaire.
Module d'un nombre
complexe.
Définition.
On appelle module
d'un nombre complexe z, noté |z|, le nombre réel :
|z| = √(z. ̄)
Autrement dit, le
module |z| de z est la racine carrée du produit de z par son conjugué.
Si
z = a+ib, alors :
Interprétation
géométrique.
En termes cartésiens,
la distance de M au point origine O, c'est-Ã -dire la longueur du segment ,
est la racine carrée de la somme des carrés des coordonnées x et y de
M : d = √ (x²+d²). Cela correspond donc à la valeur du module du nombre
z : d = |z|. En termes vectoriels, le module de z correspond
à la norme du vecteur : |z| = || ||.
Propriétés
du module :
• Le module
d'un nombre complexe est un nombre réel positif |z| ≥ 0,
• Si le module
d'un nombre est nul alors ce nombre est zéro : |z| = 0 <=> z=0,
• Le module du
produit de deux nombres complexes est égal au produit des modules de ces
nombres : |zz'| = |z||z'|,
• Le module du
rapport de deux nombres complexes est égal au rapport des modules de ces
nombres : |z/z'| = |z|/|z'|.
Argument d'un nombre
complexe.
Définition.
L'argument arg (z)
d'un nombre complexe z=a+ib est l'angle orienté θ que fait le vecteur
z avec l'axe réel positif dans le plan complexe, mesuré dans le sens
antihoraire :
argâ¡(z) = θ =
arctanâ¡(b/a)
mais il faut ajuster
θ en fonction du quadrant du point (a,b) dans le plan complexe. argâ¡(z)
est exprimé en radians et appartient à l'intervalle
]−π,π] ou parfois [0,2π[, selon les conventions.
Cas
particuliers selon les quadrants.
La position de z
détermine l'angle :
Si a > 0
(premier et quatrième quadrants) : argâ¡(z) = arctanâ¡(b/a).
Si a < 0 (deuxième
et troisième quadrants) : Si b≥0, argâ¡(z) = Ï€ + arctanâ¡(b/a);
Si b < 0, argâ¡(z) = −π+arctanâ¡(b/a).
Si a = 0 (l'axe imaginaire)
: Si b > 0, argâ¡(z) = Ï€/2​; Si b < 0, argâ¡(z) = −π/2​.
Exemples
pratiques.
Exemple 1 : z =
1+i. a=1, b = 1, donc b/a = 1 et argâ¡(z)= arctanâ¡(1) =
π/4​.
Exemple 2 : z =−1−i.
a=−1, b=−1, donc b/a=1. Puisque a < 0 et b < 0 (troisième quadrant),
on aura argâ¡(z) = −π + arctanâ¡(1) = −3Ï€/4.
Exemple 3 : z=i.
a = 0, b=1, donc argâ¡(z) = Ï€/2​.
Propriétés
de l'argument :
arg(zz') = arg(z)
+ arg(z') (modulo 2Ï€),
arg(z/z') = arg(z)
- arg(z') (modulo 2Ï€).
Forme trigonométrique
(polaire) d'un nombre complexe.
La forme trigonométrique
d'un nombre complexe est une manière d'exprimer un nombre complexe z en
termes de sa norme (ou module) r et de son argument θ.
Pour un nombre complexe
z = a + ib, où a est la partie réelle et b la partie imaginaire :
z = r(cosâ¡Î¸ +
isinâ¡Î¸), où r est la norme ou le module de z, θ = argâ¡(z)
est l'argument de z, l'angle que fait le vecteur z avec l'axe réel positif
dans le plan complexe.
Étapes
pour passer à la forme trigonométrique
Calcul du module
r :
Calcul de l'argument
θ :
θ = argâ¡(z) =
arctanâ¡(b/a),
avec les ajustements
nécessaires pour déterminer le quadrant correct.
Substitution dans
la forme trigonométrique :
z = r(cosâ¡Î¸ +
isinâ¡Î¸).
Forme
exponentielle (liée à la forme trigonométrique).
Grâce à la formule
d'Euler, ,
la forme trigonométrique peut aussi s'écrire : .
Note
: la formule d'Euler peut aussi être utilisée pour exprimer les fonctions
trigonométriques :
Transformer une équation trigonométrique
en une équation impliquant des exponentielles complexes peut faciliter
sa résolution.
Inverse.
Si un nombre complexe
est exprimé sous forme trigonométrique, z = r(cosθ + isinθ), son inverse
est plus simple à calculer.
1/z = (1/r)
.(cos(-θ) + isin(-θ)),
ou, en utilisant les
propriétés des cosinus et sinus :
1/z = (1/r)
.(cos(θ) - isin(θ))
Opérations
sur les nombres complexes dans le plan complexe
a) Addition.
- L'addition de deux nombres complexes correspond à une addition vectorielle
dans le plan.
b) Multiplication.
- Multiplier des complexes revient à multiplier leurs modules et additionner
leurs arguments. E utilisant la forme polaire : z1.z2=|z1|.|z2|.ei(θ1+θ2)
Formule de Moivre.
La formule de Moivre
permet de relier les puissances de nombres complexes à la trigonométrie.
Si z est un nombre
complexe de module r et d'argument θ, écrit sous forme exponentielle
ou trigonométrique, alors : z = r.(cos⡠θ + i.sinâ¡Î¸). La formule
de Moivre permet d'élever ce nombre complexe à une puissance entière
n :
zn
= rn (cosâ¡(nθ) + i.sinâ¡(nθ))
Si z est un complexe
sur le cercle unité (donc r = 1), la formule se simplifie à :
(cosâ¡Î¸ + i.sinâ¡Î¸)n
= cosâ¡(nθ) + i.sinâ¡(nθ)
Cette formule permet
de déterminer facilement les puissances des nombres complexes en passant
par leur forme trigonométrique. On peut aussi en déduire des formules
pour les cosinus et sinus multiples (double, triple, etc.). Elle est également
utilisée pour déterminer les racines d'un nombre complexe.
Forme matricielle des
nombres complexes
L'expression matricielle
des nombres complexes permet de représenter un nombre complexe sous la
forme d'une matrice 2×2 réelle. Cette représentation est utile pour
établir un lien entre les nombres complexes et les transformations géométriques
telles que les rotations et les dilatations dans le plan.
Représentation
générale.
Un nombre complexe
z = x + iy, où x est la partie réelle et y la partie imaginaire, peut
être représenté par la matrice suivante :
Propriétés de cette
représentation.
Addition.
La somme de deux
nombres complexes z​ et z'​ correspond à l'addition
des matrices associées : Mz+z' = Mz
+
Mz'.
Multiplication.
Le produit de deux
nombres complexes z​ et z'​ correspond au produit des matrices associées
: Mz.z'= Mz.Mz'.
Module.
Le module |z| d'un
nombre complexe z = x + iy est donné, on l'a vu par : |z|² = x²
+ y², ce qui est aussi le déterminant de la matrice Mz
:
detâ¡(Mz) = x2+y2.
Autrement dit :

Conjugué.
On a vu que le conjugué
d'un nombre complexe z=x+i s'écrit
= x−iy. La matrice associée est donc :
Transformation
géométrique.
Cette matrice représente
une rotation suivie d'une homothétie dans le plan : la partie réelle
x et imaginaire y déterminent la rotation d'angle θ, où tanâ¡(θ)=
y/x​. Le module |z| représente le facteur de dilatation.
Exemple
numérique.
Soit le nombre complexe
z = 1 + i.2. La matrice associée est :

Le déterminant de
cette matrice est : detâ¡(Mz) = 1² + 2² = 5.
Le module de z est donc :

Racines n-ièmes d'un
nombre complexe
Définition et existence.
Pour un nombre complexe
donné w ≠0, une racine n-ième de w est une solution de l'équation
polynomiale : zn = w, où n est un entier
naturel strictement positif. Autrement dit, z est une racine n-ième de
w si et seulement si : z = w 1/n.
Résolution
de l'équation zn
= w.
Pour résoudre l'équation
zn = w, on suivra trois étapes; on commence
par représenter de w en coordonnées polaires : tout nombre complexe
w≠0 peut être écrit sous la forme polaire ou exponentielle : w = |w|eiargâ¡(w),
où |w| est le module de w, argâ¡(w)est l'argument principal de w, défini
modulo 2π. Les n racines n-ièmes de w sont alors données par la formule
générale :
|w|1/n​
est le module des racines. Les arguments des racines sont répartis
uniformément sur le cercle de rayon |w|1/n​
​ dans le plan complexe. Ils diffèrent de 2π/n
les uns des autres.
Dans ,
l'équation zn = w a toujours exactement
n solutions distinctes, car les arguments sont cycliques modulo 2Ï€. Ces
racines sont réparties symétriquement autour de l'origine, formant un
polygone régulier dans le plan complexe. Un résultat fondamental
en algèbre complexe, qui s'appuie sur la propriété de compacité du
cercle unité dans .
Racines n-ièmes
de l'unité.
Les racines n-ièmes
de l'unité sont les solutions de l'équation complexe : zn=1,
où n est un entier strictement positif. Ces racines apparaissent souvent
en algèbre et en analyse. Leur interprétation géométrique et leurs
propriétés symétriques en font un outil puissant dans l'étude des polynômes
et des structures cycliques.
Forme
exponentielle des racines.
L'unité 1 dans
le plan complexe peut être écrite en forme exponentielle : 1 = ei2kπ,
k  .
Les racines n-ièmes de 1 sont données par : 1 = ei2kπ/n,
k = 0, 1, ..., n-1. Explications :
• ei2kπ/n
représente la rotation de 2kπ/n radians dans le plan complexe.
• Il y a n valeurs
distinctes de zk corresponadnt à k = 0, 1, ..., n-1.
Ces racines correspondent
aux n puissances distinctes de ei2π/n​,
qui est la racine primitive n-ième de l'unité.
Interprétation
géométrique.
Comme on l'a vu
avec les racines de l'équation zn = w,
les racines n-ièmes de l'unité peuvent être interprétées géométriquement
comme les sommets d'un polygone régulier centré sur l'origine. Il est
cette fois inscrit dans le cercle unité du plan complexe-:
• Cercle
unité. - Chaque racine zk​ a un module égal
à 1 (puisque |zk| = 1).
• Répartition
angulaire. - Les arguments de ces racines sont :

Ces angles sont espacés
de 2π/n​ radians, répartissant uniformément les racines autour du
cercle unité.
• Polygone régulier.
- Chaque zk​ correspond à un sommet. Les n sommets
sont également espacés et forment un polygone régulier inscrit.
Propriétés
des racines n-ièmes de l'unité.
• Somme
des racines égale à 0. - La somme de toutes les racines n-ièmes
de l'unité est toujours égale à 0, sauf pour n=1 où il n'y a qu'une
racine (1).

Ceci peut être démontré
par la formule de la somme des termes d'une progression géométrique
:

car ei2Ï€
= 1.
• Puissance
d'une racine. - Si zk = ei2kπ/n​,
alors :

Cela montre que chaque
zk​ satisfait bien l'équation zn
= 1.
• Multiplication
cyclique. - La multiplication de deux racines zk et zj donne
une autre racine :
L'indice k+j est pris modulo n.
• Produit des
racines. - Le produit de toutes les racines n-ièmes de l'unité est
égal à :
Cela découle de
la relation entre les racines d'un polynôme et ses coefficients.
Utilité
des racines n-ièmes de l'unité.
En algèbre, les
racines de l'unité apparaissent dans la factorisation des polynômes,
notamment xn - 1, qui se décompose comme :

En analyse et en
géométrie les racines de l'unité sont utilisées pour définir les séries
de Fourier, où elles servent à décrire les fréquences fondamentales.
Les racines n-ièmes
de l'unité sont également utilisées en cryptographie, où elles sont
exploitées dans les algorithmes de chiffrement.
Compléments sur les
nombres complexes
Introduction aux
fonctions complexes.
Les fonctions complexes
sont des fonctions f : → ,
où les variables et les valeurs sont des nombres complexes. Ces fonctions
offrent une extension des mathématiques réelles et trouvent des applications
variées, notamment en physique, ingénierie et analyse.
Fonctions
holomorphes.
Une fonction complexe
f(z) est dite holomorphe sur un domaine D 
si elle est dérivable au sens complexe en tout point de D. Cela implique
que :
• La dérivée
complexe existe :

• Les équations
de Cauchy-Riemann sont satisfaites. Soit z=x + iyz et f(z) = u(x,y) + iv(x,y),
avec u,v les parties réelle et imaginaire de f. Alors :

Si f est holomorphe,
elle est infiniment dérivable et elle est analytique (elle peut être
développée en série de Taylor localement).
Intégration
sur un contour.
L'intégration dans
le plan complexe repose sur une courbe orientée γ, appelée contour,
paramétrée par une fonction γ(t) : [a,b]→ .L'intégrale
de f(z) le long de γ est donnée par :

Théorème
fondamental de l'analyse complexe.
Si f est holomorphe
sur un domaine D contenant γ, alors :

où z1​
et z2​ sont les points de départ et d'arrivée
de γ.
Théorème
de Cauchy.
Si f est holomorphe
sur D et γ est un contour fermé contenu dans D, alors :

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