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Les groupes

Introduction.
Définition d'un groupe et de ses propriétés élémentaires.
Un groupe est un couple (E, ), où E est un ensemble et  (lire : "truc") est une opération binaire sur E (c'est-à-dire une fonction  : E×E→E) tel que les quatre axiomes suivants soient vérifiés :
Fermeture. - Pour tout x, y E, x  E. Cela signifie que l'opération reste à l'intérieur de l'ensemble E.

Associativité. - Pour tout  x, y, z  E : x  (y  z) = (x  y)  z).  Cela garantit que la manière de regrouper les termes dans une expression ne modifie pas le résultat. 

Élément neutre. -  Il existe un élément e  E tel que, pour tout x  E, xe = ex = x. L'élément e est appelé élément neutre (à gauche et à droite) de l'opération. 

Élément symétrique. - Pour chaque x  E, il existe un x'  E  tel que x  x' = x'  x = e. l'élément x' est appelé le symétrique de x. 

Si, de plus,  est commutative, c'est-à-dire si pour tout a et b on a ab = ba, alors (E, ) sera appelé groupe commutatif ou groupe abélien.

Si E a un nombre fini d'éléments ont parle de groupe fini, si  ce nombre est infini, on parle de groupe infini.

Si l'opération est l'addition, on écrit  a+b au lieu de ab. Si l'opération est la multiplication, on écrit a.b ou ab. (Dans la suite de cette page, s'il n'y a pas de risque de confusion, on utilisera cette écriture multiplicative, plus économique, à la place de la notation avec ).

Exemples de groupes : le groupe additif des entiers (, +), où 0 est l'émement neutre et le symétrique de tout élément x est -x; le goupe multiplicatif des réels non nuls (*,0), où 1 est l'élément neutre et le symétrique d'un élément x, (nommé inverse de x) est 1/x pour a≠0; l'es ensembles de permutations des objets, avec la composition comme opération.

Jalons historiques. - La théorie des groupes trouve ses racines dans l'étude des équations polynomiales. A la fin du XVIIIe siècle, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) étudie les permutations des racines des équations polynomiales et pose les bases de ce qui deviendra la théorie des groupes de permutations. Son travail de 1770 sur la résolution des équations introduit des idées centrales qui seront développées plus tard. Évariste Galois (1811-1832) est considéré comme le fondateur de la théorie des groupes. À 20 ans, il développe des concepts révolutionnaires en étudiant les conditions sous lesquelles une équation polynomiale est solvable par des radicaux.  Il introduit le concept de groupe de Galois, reliant les solutions des équations aux propriétés de certains groupes de permutations. Son travail, bien que publié après sa mort tragique en duel à 21 ans, marque le début officiel de la théorie des groupes. Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), après lui, approfondit les idées de permutations et formule des résultats fondamentaux sur les groupes finis. Arthur Cayley (1821-1895) généralise le concept de groupe et développe des représentations concrètes par des matrices et des transformations. Il introduit la notion de table de Cayley, qui donne une représentation systématique de la structure d’un groupe. Sophus Lie (1842-1899) : Lie introduit les groupes de Lie, une classe de groupes continus qui jouent un rôle fondamental en géométrie différentielle et en physique (en particulier dans la théorie de la relativité et la mécanique quantique). Camille Jordan (1838-1922) développe des théorèmes importants sur les groupes de permutations et la structure des groupes, formalisant davantage la théorie des groupes finis. Au début du XXe siècle, Élie Cartan et Hermann Weyl travaillent sur la classification des groupes de Lie, reliant les groupes à la géométrie et à la physique. Emmy Noether (1882-1935) développe la théorie des anneaux et des idéaux, mettant en lumière l'importance des symétries et de la structure des groupes dans la physique théorique. Il faut ensuite attendre 2004 pour soit réalisée un des plus grands résultats concernant la théorie des groupes, avec l'achèvement de classification complète des groupes simples finis, un projet monumental mené par de nombreux mathématiciens pendant plusieurs décennies. Aujourd'hui, la théorie des groupes est essentielle pour comprendre la symétrie en physique des particules, la théorie quantique, et même en cryptographie moderne (groupes abéliens, elliptiques).
Ordre d'un groupe.
Soit G un groupe. L'ordre de G, noté |G|  ou ord(G), est le nombre d'éléments de G.

Si G est un groupe fini, son ordre est un nombre entier fini. Si G est un groupe infini, son ordre est infini. Par exemple, le groupe des entiers  est un groupe infini.

Exemples : le groupe trivial {e} (où e est l'élément neutre) a un ordre de 1; le groupe symétrique S3, qui est le groupe des permutations de trois éléments, a 6 éléments. Donc, |S3| = 6; le groupe cyclique n (les entiers modulo  n) a n éléments. Il s'ensuit que |n | = n.

Générateurs d'un groupe.
Les générateurs d'un groupe sont les éléments qui, combinés par l'opération de groupe, permettent de produire tous les éléments du groupe. Plus formellement, si  est un groupe, un ensemble S  G est dit être un ensemble de générateurs de G si tout élément de G peut être écrit comme un produit fini d'éléments de S et de leurs inverses. Autrement dit,  S est un ensemble de générateurs de G  si tout élément g  G peut s'écrire sous la forme : g = s1e1 s2e2 ... snen, où ( si S ) et  e {1, -1}  pour  i = 1, 2,..., n .

Sous-groupes.
Un sous-ensemble non vide F de E muni d'une loi  est un sous-groupe de (E, ), pour le dire sommairement, si et seulement si (F, ) est un groupe. Si l'on veut être plus explicite, on dira que (F, ) est un sous groupe de (E, ), si et seulement F est stable pour la loi  et si le restriction à F de la loi  (encore notée ) munit F d'une structure de groupe.

Sous-groupes normaux (sous-groupes distingués).
Soit  G un groupe et  N  un sous-groupe de G. On dit que N est un sous-groupe normal (sous-groupe distingué ou sous-groupe invariant) de G  si pour tout élément g de G et pour tout élément n de N, l'élément gng-1 appartient à N. Autrement dit, N est invariant par conjugaison par les éléments de G. On note souvent N ◁ G pour indiquer que N est un sous-groupe normal de G. Propriétés :

Identité et groupe lui-même. - Le sous-groupe trivial {e} (où ( e ) est l'élément neutre de G) et le groupe G lui-même sont toujours des sous-groupes normaux de G.

Intersection. - L'intersection de deux sous-groupes normaux de G est encore un sous-groupe normal de G.

Produit . Si N et M sont deux sous-groupes normaux de G, alors leur produit NM (= l'ensemble des éléments de la forme nm où ( n N ) et ( m  M ) est aussi un sous-groupe normal de G.

Quotient. - Si N est un sous-groupe normal de G, on peut former le groupe quotient G/N, qui est l'ensemble des classes d'équivalence de G modulo N. (V. plus bas).

Exemple : dans un groupe abélien, tous les sous-groupes sont normaux. Cela est dû au fait que la conjugaison gng-1 est toujours égale à n dans un groupe abélien. 

Commutateurs d'un groupe.
Le commutateur de deux éléments d'un groupe mesure le degré de non-commutativité entre ces éléments. Le commutateur d'un groupe est l'ensemble des commutateurs de tous les paires d'éléments du groupe. 

Soit G  un groupe et a, b  G ). Le commutateur de a et b, noté [a, b], est défini par :
[a, b] = a-1 b-1 ab. Le commutateur d'un groupe G, noté [G, G] ou G', est le sous-groupe de G engendré par tous les commutateurs de G. Autrement dit, [G, G] est le plus petit sous-groupe de G contenant tous les commutateurs [a, b] pour ( a, b G ). Propriétés :

• Le commutateur [G, G] est un sous-groupe normal de G.

• Si G est un groupe abélien, alors [G, G] = {e} ), où  e est l'élément neutre de ( G ).

• Le quotient G / [G, G] est un groupe abélien, appelé le groupe abélianisé de G.

Centre d'un groupe.
Le centre d'un groupe est défini comme l'ensemble des éléments du groupe qui commutent avec tous les autres éléments du groupe. Plus formellement, si G  est un groupe, le centre de G, noté Z(G), est défini par : ZG = { zG |  G, zg = gz }. Cela signifie que pour tout élément z dans ZG et pour tout élément g de G, le produit zg est égal au produit gz. Propriétés du centre d'un groupe : 
• Le centre Z(G) est toujours un sous-groupe de G. En effet, il est facile de vérifier que Z(G) est fermé sous la loi de composition du groupe et contient l'élément neutre.

• Si G  est un groupe abélien (c'est-à-dire que tous les éléments de G commutent entre eux), alors Z(G) = G. Autrement dit, le centre d'un groupe abélien est le groupe lui-même.

• Le centre Z(G) est un sous-groupe normal de G . Cela signifie que pour tout g  G ) et tout ( z  Z(G) ), l'élément gzg-1 est également dans Z(G).

• Le centre  Z(G) est un sous-groupe caractéristique de G. Cela signifie que pour tout automorphisme φ de G, φ(Z(G)) = Z(G).

Morphismes de groupes.
Les morphismes de groupes sont des applications entre groupes qui respectent leur structure algébrique. Cela inclut les notions importantes d'homomorphismes d'isomorphismes et d'automorphismes.

Homomorphismes de groupes.
Un homomorphisme de groupes est une application f:G→H où G et H sont deux groupes, qui satisfait la condition suivante : f(xy) = f(x)f(y),  x,y G. En d'autres termes, f conserve l'opération du groupe. On a les propriétés suivantes :

Conservation de l'élément neutre. - Si eG​ est l'élément neutre de G, alors f(eG) = eH, où eH​ est l'élément neutre de H.

Compatibilité avec les inverses. - Pour tout x  G, f(x−1) = f(x)−1

Image d'un sous-groupe. - Si K est un sous-groupe de G, alors f(K) est un sous-groupe de H.

Noyau de f. - Le noyau de f, noté ker⁡(f), est l'ensemble des éléments de G envoyés sur l'élément neutre de H : ker⁡(f) = {x  G | f(x)=eH}. ker⁡(f) est un sous-groupe normal de G.

Exemple : Si G = (,+) et H = (n,+), l'application f : Z→Zn​ définie par f(x) = x mod  n est un homomorphisme.

Isomorphismes de groupes.
Un isomorphisme est un homomorphisme bijectif (f est à la fois injective et surjective). Si f : G→H est un isomorphisme, alors G et H sont dits isomorphes, noté G≅H.

Conservation de la structure : f(xy) = f(x)f(y) pour tout x,y G.

Réciproque : L'application réciproque f−1 : H→G est également un homomorphisme.

Exemple : le groupe des réels (, +) est isomorphe au groupe des réels strictement positifs (+, .) via l'isomorphisme f(x) = ex.

Automorphismes de groupes.
Un automorphisme de groupes est un isomorphisme d'un groupe sur lui-même. Autrement dit, c'est une bijection (une fonction bijective) qui préserve la structure de groupe. Exemples et propriétés des automorphismes :

Identité. - La fonction identité ( idG : G → G ) définie par idG(g) = g  pour tout g G est un automorphisme.

Composition. - La composition de deux automorphismes est encore un automorphisme. Si φ et ψ sont des automorphismes de G, alors φoψ est également un automorphisme de G.

L'ensemble de tous les automorphismes d'un groupe G forme lui-même un groupe sous la composition de fonctions, noté Aut(G), et appelé le groupe des automorphismes de G).
Inverse. - L'inverse d'un automorphisme est également un automorphisme. Si φ est un automorphisme de G, alors φ-1 est aussi un automorphisme de  G.

Automorphismes intérieurs. - Un automorphisme intérieur associé à une élément g  G, est un automorphisme φG : G→ G  défini par φG(x) = gxg-1 pour tout x  G. L'ensemble des automorphismes intérieurs de G forme un sous-groupe de Aut(G), noté Inn(G). Lorsqu'un automorphisme n'est pas intérieur, il est dit... extérieur.

Automorphismes triviaux. - Dans un groupe abélien, tous les automorphismes intérieurs sont triviaux (c'est-à-dire la fonction identité), car gxg-1 = x,  g, x  G.

Théorème fondamental des homomorphismes.
Soit f : G→H un homomorphisme de groupes. Alors : le noyau ker⁡(f) est un sous-groupe normal de G; l'image Im(f) est un sous-groupe de H; il existe un isomorphisme naturel :  G/ker⁡(f)≅Im(f).

Sous-groupe caractéristique.
Un sous-groupe caractéristique est un type particulier de sous-groupe qui possède une propriété de stabilité sous les automorphismes du groupe. Plus formellement, si G est un groupe et H est un sous-groupe de G, alors H est dit caractéristique dans G si pour tout automorphisme φ de G, l'image de H par φ est H lui-même. Autrement dit, H est invariant sous tous les automorphismes de G.

Tout sous-groupe caractéristique est un sous-groupe normal. En effet, si H est caractéristique, alors pour tout g  G, l'automorphisme intérieur φG défini par φG (x) = gxg-1) laisse H invariant, ce qui signifie que H est normal.

L'intersection de deux sous-groupes caractéristiques est elle-même un sous-groupe caractéristique.

Si H et K sont des sous-groupes caractéristiques de G, alors leur produit HK est également un sous-groupe caractéristique de G.

Le centre Z(G) d'un groupe G est toujours un sous-groupe caractéristique. En effet, pour tout automorphisme φ de G  φ(z) commute avec tous les éléments de G si z commute avec tous les éléments de G, donc φ(Z(G)) = Z(G).

Classes latérales.
Les classes latérales permettent de partitionner un groupe en sous-ensembles de manière à étudier la structure du groupe par rapport à un sous-groupe donné. Il existe deux types de classes latérales : les classes latérales à gauche et les classes latérales à droite.

Pour un élément g  G, la classe latérale à gauche (à droite) de H par g, notée gH (Hg), est définie par : gH = { gh | h  H } (Hg = { hg | h  H }). C'est l'ensemble des éléments de G obtenus en multipliant g à gauche (à droite) par tous les éléments de H.

Propriétés :

Partition. - Les classes latérales à gauche (ou à droite) forment une partition de G. Cela signifie que chaque élément de G appartient à exactement une classe latérale à gauche (ou à droite).

Cardinalité. - Toutes les classes latérales à gauche (ou à droite) ont le même nombre d'éléments, qui est égal à l'ordre du sous-groupe H.

Représentants. - Pour chaque classe latérale, on peut choisir un représentant. Par exemple, si gH est une classe latérale à gauche, g est un représentant de cette classe.

Groupes quotients.
Les groupes quotients permettent de simplifier un groupe en tenant compte de ses sous-groupes normaux. Soit G un groupe et N un sous-groupe normal de G (c'est-à-dire gN=Ng G). Le groupe quotient G/N est défini comme l'ensemble des classes à gauche gN, avec l'opération : ( gN).(hN)=(gh)N. G/N hérite d'une structure de groupe bien définie grâce à la normalité de N.

Propriétés :

Premier Isomorphisme. -  Si ϕ:G→H est un homomorphisme de groupes, alors G/ker⁡(ϕ) est isomorphe à l'image de ϕ.

Correspondance. -  Il existe une correspondance (homomorphisme) entre les sous-groupes de G/N et les sous-groupes de G contenant N.

Ordre. - Si G est fini, |G/N| = |G|/|N|.

Exemple : /n, est groupe quotient de Z par le sous-groupe nZ.

Théorème de Lagrange sur les groupes.
Soit G un groupe fini, et H un sous-groupe de G. Alors, l'ordre de H (le nombre d'éléments dans H) divise l'ordre de G (le nombre d'éléments dans G) : |H| divise |G|. Cela signifie qu'il existe un entier k tel que : |G| = |H|.k, où  k est l'indice de H dans G, noté [G : H], c'est-à-dire le nombre de classes à gauche (ou à droite, puisque G est un groupe) distinctes formées par H dans G.

Conséquences : l'ordre d'un élément g  G (le plus petit entier n > 0 tel que gn = e) divise l'ordre de G; les tailles des sous-groupes possibles d'un groupe fini G sont strictement limitées aux diviseurs de |G|.

Groupes cycliques.
Un groupe cyclique est un groupe, où tous les éléments  peuvent être obtenus en élevant un élément particulier, appelé le générateur, à différentes puissances (multiplications répétées ou itérations du groupe). Autrement dit : un groupe G est cyclique s'il existe un élément g  G tel que : G = {gn | n }. Dans ce contexte : gn représente l'élément obtenu en multipliant g avec lui-même n-fois (si G est un groupe multiplicatif) ou en ajoutant g n-fois (si G est un groupe additif); n peut ête un entier positif, négatif ou nul. On dit que g génère le groupe G, et g est appelé un générateur.

Propriétés des groupes cycliques.
Un groupe cyclique correspond au type de groupe le plus simple dans la théorie des groupes, car il est entièrement déterminé par un seul générateur.

Tous les groupes cycliques sont abéliens (commutatifs), c'est-à-dire que a.b = b.a pour tous a,b  G.

Si G est un groupe cyclique de taille n, alors chaque diviseur d de n correspond à un sous-groupe unique de G ayant d éléments. Ces sous-groupes sont également cycliques.

Si G est un groupe cyclique d'ordre m engendré par g, alors l'ordre de g est m. Cela signifie que gm = e  et que m est le plus petit entier positif pour lequel cela est vrai.

Si G est un groupe cyclique fini d'ordre n, alors l'ordre de chaque élément gk(où g est un générateur) est n/PGCD(k,n). (PGCD = plus grand commun dénominateur).

Tout groupe cyclique d'ordre n est isomorphe à /n  (le groupe des entiers modulo n, avec l'addition). Un groupe cyclique infini est isomorphe à   (les entiers relatifs, avec l'addition).

Groupes cycliques finis et infinis.

Groupes cycliques finis. - Un groupe cyclique fini est un groupe cyclique qui a un nombre fini d'éléments. Tout groupe cyclique fini d'ordre n est isomorphe au groupe additif /n (les entiers modulo n ). 
+ Tout sous-groupe d'un groupe cyclique fini est également cyclique. Si G est un groupe cyclique d'ordre n et d est un diviseur de n, alors G a un unique sous-groupe d'ordre d.

+ L'automorphisme de /n est isomorphe au groupe des unités /n*.

Groupes cycliques infinis. - Un groupe cyclique infini est un groupe cyclique qui a un nombre infini d'éléments. Tout groupe cyclique infini est isomorphe au groupe additif  (les entiers relatifs). Un groupe cyclique infini a exactement deux générateurs, g et  g-1.
+ Tout sous-groupe d'un groupe cyclique infini est également cyclique. Si G est un groupe cyclique infini engendré par g, alors les sous-groupes de G sont de la forme  <gk > pour  k 1.

+ L'automorphisme de  est isomorphe au groupe {1, -1}, qui a 2 éléments.

Groupes de permutations. Groupe symétrique Sn.
Le groupe de toutes les permutations d'un ensemble S, muni de la composition de applications (o) comme opération de groupe, est appelé groupe symétrique sur  S. Il est noté Sym(S) ou Sn si S = {1, 2, ..., n}, (c'est-à-dire si n = |S|  est la taille de l'ensemble).

Une permutation d'un ensemble S est une bijection de S sur lui-même. Cela signifie que chaque élément de S est envoyé sur un autre élément (ou lui-même) de S, de manière que chaque élément apparaisse exactement une fois. 

+ Exemple : pour X = {1,2,3}, la permutation σ, qui indique que 12, 23 et 31, est :

Si S est un ensemble fini de n  éléments, alors Sym(S) (ou Sn) a  n! (factorielle de n) éléments. C'est le nombre de permutations possibles de n éléments. Par exemple : S3​ contient 3! = 6 permutations. 

La signature d'une permutation σ est un homomorphisme de Sn dans le groupe {1, -1}. Elle est déterminée par le nombre de transpositions (permutations qui échangent deux éléments) dont elle est composée. Une permutation est paire et de signature 1 si ce nombre est pair, et impaire et de signature -1 si ce nombre est impair.

Cycle et notation cyclique.
Un cycle est une permutation qui déplace un certain nombre d'éléments de S de manière circulaire et laisse les autres éléments invariants. Par exemple, le cycle (1  2  3) dans  S est la permutation qui envoie 1 sur 2, 2 sur 3 et 3 sur 1, et laisse les autres éléments invariants.

Toute permutation peut être décomposée de manière unique (à l'ordre près) en un produit de cycles disjoints. Par exemple, la permutation (1  2  3)(4)  dans S4 est la permutation qui envoie 1 sur 2, 2 sur 3, 3 sur 1, 4 sur 4. 

Tout cycle de longueur k est un élément d'ordre k. Les cycles disjoints commutent entre eux.

Sous-groupes de Sn.

• Groupe alterné An : sous-groupe des permutations paires de Sn​ (les permutations ayant un nombre pair d'inversions).  Ordre : |An| = n!/2.  An est normal dans Sn​.

• Sous-groupes générés par des cycles :  Exemple : <(1 2) > dans S3​ génère un sous-groupe d'ordre 2.

• Sous-groupes diagonaux et sous-groupes spécifiques dépendant de n.

Propriétés générales des groupes de permutations.
Toute permutation peut être écrite comme un produit de transpositions (permutations échangeant deux éléments).  Exemple : (1 2 3)=(1 2)(2 3)(1 2 3)=(1 2)(2 3).

Théorème de Cayley : tout groupe fini G est isomorphe à un sous-groupe d'un groupe symétrique Sn​, où n = |G|.

Les groupes symétriques Sn​ sont non commutatifs pour n ≥ 3, c'est-à-dire que στ≠τσ général.

+ Exemples. - S2​ : ensemble : {e,(1 2)}, abélien d'ordre 2. S3 : permutations-: e, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2), non abélien d'ordre 6.
Actions de groupes .
Les actions de groupes sont une manière d'étudier la manière dont un groupe agit sur un ensemble.

Définition d'une action de groupe.
Soit G un groupe et X un ensemble. Une action de G sur X est une application . : G×X→X (notée g.x), qui satisfait les propriétés suivantes :

    Compatibilité avec la loi de groupe :  (gh).x = g.(h.x),  g, h G, x  X.

    Action de l'élément neutre :  e.x =x  X, où e est l'élément neutre de G.

Une action peut être vue comme une façon de "déplacer" les éléments de XXsous l'influence des éléments de G.

Exemples d'actions de groupe :

•  Translation dans un espace vectoriel : Si G =  et X = n, alors t.x = x+t est une action de G sur X.

• Action par conjugaison : Si G agit sur lui-même, on peut définir g.x = gxg−1, où g,x G.

•  Action d'un groupe de permutations : Le groupe symétrique Sn​ agit sur l'ensemble {1, 2,…, n} par réarrangement.

Orbites et stabilisateurs.
L'orbite d'un élément x  X sous l'action de G est l'ensemble des éléments de X accessibles depuis x par l'action de G : Orb(x) = {g.x | g G}. L'ensemble X est partitionné en orbites disjointes par l'action de G.

Le stabilisateur d'un élément x  X sous l'action de G est le sous-groupe de G qui laisse x invariant : Stab(x) = {g  G | g.x =x }. Stab(x) est toujours un sous-groupe de G.

Si G agit sur un ensemble X et x  X, alors il existe une relation fondamentale entre la taille de l'orbite de x, la taille du stabilisateur de x, et l'ordre du groupe G : |G|=|Orb(x)|.|Stab(x)|. Cela découle du fait que G agit sur l'orbite de x de manière bijective.

Formule des classes.
La formule des classes décrit la décomposition de X en orbites et relie la taille de G à ces orbites :

où xi​ représente un représentant distinct de chaque orbite.

Théorèmes de Sylow.
 Les théorèmes de Sylow sont un ensemble de résultats fondamentaux en théorie des groupes finis, qui portent le nom du mathématicien Peter Ludwig Sylow. Ils fournissent des informations sur la structure des groupes finis en garantissant l'existence et en décrivant certaines propriétés des sous-groupes d'ordre une puissance d'un nombre premier. Voici les trois théorèmes de Sylow :

 •Premier théorème de Sylow. - Soit G un groupe fini d'ordre n = pkm, où p est un nombre premier, k est un entier positif et m est un entier tel que p ne divise pas m. Alors G possède au moins un p-sous-groupe de Sylow d'ordre pk. Un p-sous-groupe de Sylow est un sous-groupe d'ordre pk.

 • Second théorème de Sylow. - Soit G un groupe fini d'ordre n = pkm comme ci-dessus. Tous les p-sous-groupes de Sylow de G sont conjugués. Cela signifie que si P et Q sont deux p-sous-groupes de Sylow de G, il existe un élément g  G tel que gPg⁻¹ = Q.

 • Troisième théorème de Sylow. - Soit G un groupe fini d'ordre n = pkm comme ci-dessus. Soit np le nombre de p-sous-groupes de Sylow de G. Alors :

    np ≡ 1 (mod p)

    np divise m

Les théorèmes de Sylow permettent de décomposer un groupe fini en sous-groupes plus petits et plus faciles à étudier. En combinant les théorèmes de Sylow avec d'autres résultats de la théorie des groupes, il est possible de classifier tous les groupes finis d'ordre inférieur à un certain seuil. 

Classification des groupes finis simples.
La classification des groupes finis simples est un des résultats majeurs de la théorie des groupes. Un groupe fini simple est un groupe fini qui ne possède pas de sous-groupe normal autre que le groupe trivial et lui-même. Ces groupes jouent un rôle central dans la structure des groupes finis, car ils constituent les "blocs de construction" dans la décomposition de Jordan-Hölder.

La classification complète des groupes finis simples est le fruit de décennies de travaux combinés par de nombreux mathématiciens, achevés dans les années 1980. 

Énoncé de la classification :  tout groupe fini simple appartient à l'une des catégories suivantes :

Groupes cycliques d'ordre premier.
Groupes alternés An pour n≥5.
Groupes de Lie finis (ou groupes simples de type classique).
Groupes sporadiques.
Groupes cycliques d'ordre premier.
Ces groupes sont les plus simples. Si p est un nombre premier, alors le groupe cyclique Cp​ d'ordre p est simple, car il n'a aucun sous-groupe normal non trivial. Exemple : /p sous l'addition modulo p.

Groupes alternés An.
Le groupe alterné An​, qui est le sous-groupe des permutations paires du groupe symétrique Sn​, est simple pour n≥5. Ces groupes sont les premiers exemples de groupes non abéliens simples. Ordre : |An| = n!/2​. Exemples : A5 (ordre 60) est le plus petit groupe simple non abélien; A6​ (ordre 360) est également simple.

Groupes de Lie finis (ou groupes classiques).
Ces groupes apparaissent à partir des groupes de Lie définis sur des corps finis. Ils incluent plusieurs familles infinies classées en fonction des types de groupes de matrices ou de transformations. Types principaux :

• Groupes linéaires projectifs :  PSL(n, q), où n≥2 et q est une puissance d'un nombre premier.  Exemples : PSL(2, 7) (ordre 168), PSL(3, 2)(ordre 168).

•  Groupes unitaires projectifs : PSU(n, q), définis à partir de matrices préservant une forme hermitienne.

• Groupes symplectiques projectifs : PSp (2n, q), qui préservent une forme bilinéaire antisymétrique.

• Groupes orthogonaux : PΩ(n,q), qui préservent une forme quadratique.

Ces groupes sont simples pour certaines valeurs spécifiques de n et q. Ils forment des familles infinies de groupes finis simples.

Groupes sporadiques.
Les groupes sporadiques sont des groupes finis simples qui n'appartiennent à aucune des familles infinies mentionnées précédemment. Il en existe exactement 26, et ils sont souvent considérés comme des "exceptions" dans la classification. Exemples notables-:

• Groupes de Mathieu : M11, M12, M22, M23, M24​, avec M24​ (ordre 244.823.040) comme le plus grand.

Groupes de Janko : J1, J2, J3, J4.

Groupe de Conway :  Co1, Co2, Co3​, associés au réseau de Leech.

Groupes de Fischer :  Fi22, Fi23, Fi24​.

Groupe Monstre M (groupe de Fischer-Griess) : le plus grand groupe sporadique (ordre ~ 8×1053). Connexions profondes avec la théorie des cordes et la théorie des nombres.

Théorème de Jordan-Hölder.
Toute décomposition d'un groupe fini en séries normales donne des facteurs isomorphes à des groupes simples. Les groupes simples servent donc de "blocs de construction".
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