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Introduction.
Définition
d'un groupe et de ses propriétés élémentaires.
Un groupe est un
couple (E, ),
où E est un ensemble et
(lire : "truc") est une opération binaire sur E (c'est-à-dire une fonction
: E×E→E) tel que les quatre axiomes suivants soient vérifiés :
• Fermeture.
- Pour tout x, y E, x
y E. Cela signifie que l'opération
reste à l'intérieur de l'ensemble E.
• Associativité.
- Pour tout x, y, z
E : x (y
z) = (x y)
z). Cela garantit que la manière de regrouper les termes dans une
expression ne modifie pas le résultat.
• Élément
neutre. - Il existe un élément e
E tel que, pour tout x E,
x e = e x
= x. L'élément e est appelé élément neutre (à gauche et à droite)
de l'opération.
• Élément
symétrique. - Pour chaque x
E, il existe un x' E
tel que x x'
= x' x = e.
l'élément x' est appelé le symétrique de x.
Si, de plus,
est commutative, c'est-à-dire si pour tout a et b on a a b
= b a, alors (E, )
sera appelé groupe commutatif ou groupe abélien.
Si E a un nombre
fini d'éléments ont parle de groupe fini, si ce nombre est infini,
on parle de groupe infini.
Si l'opération est
l'addition, on écrit a+b au lieu de a b.
Si l'opération est la multiplication, on écrit a.b ou ab. (Dans la suite
de cette page, s'il n'y a pas de risque de confusion, on utilisera cette
écriture multiplicative, plus économique, à la place de la notation
avec ).
Exemples de groupes
: le groupe additif des entiers ( ,
+), où 0 est l'émement neutre et le symétrique de tout élément x est
-x; le goupe multiplicatif des réels non nuls ( *,0),
où 1 est l'élément neutre et le symétrique d'un élément x, (nommé
inverse de x) est 1/x pour a≠0; l'es ensembles de permutations des objets,
avec la composition comme opération.
Jalons
historiques. - La théorie des groupes trouve ses racines dans l'étude
des équations polynomiales. A la fin du XVIIIe
siècle, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) étudie
les permutations des racines des équations polynomiales et pose les bases
de ce qui deviendra la théorie des groupes de permutations. Son travail
de 1770 sur la résolution des équations introduit des idées centrales
qui seront développées plus tard. Évariste Galois
(1811-1832) est considéré comme le fondateur de la théorie des groupes.
À 20 ans, il développe des concepts révolutionnaires en étudiant les
conditions sous lesquelles une équation polynomiale est solvable par des
radicaux. Il introduit le concept de groupe de Galois, reliant les
solutions des équations aux propriétés de certains groupes de permutations.
Son travail, bien que publié après sa mort tragique en duel à 21 ans,
marque le début officiel de la théorie des groupes. Augustin-Louis
Cauchy (1789-1857), après lui, approfondit les idées de permutations
et formule des résultats fondamentaux sur les groupes finis. Arthur
Cayley (1821-1895) généralise le concept de groupe et développe
des représentations concrètes par des matrices et des transformations.
Il introduit la notion de table de Cayley, qui donne une représentation
systématique de la structure d’un groupe. Sophus Lie
(1842-1899) : Lie introduit les groupes de Lie, une classe de groupes continus
qui jouent un rôle fondamental en géométrie différentielle et en physique
(en particulier dans la théorie de la relativité et la mécanique quantique).
Camille
Jordan (1838-1922) développe des théorèmes importants sur les groupes
de permutations et la structure des groupes, formalisant davantage la théorie
des groupes finis. Au début du XXe siècle,
Élie
Cartan et Hermann Weyl travaillent sur la classification
des groupes de Lie, reliant les groupes à la géométrie et à la physique.
Emmy Noether (1882-1935) développe la théorie
des anneaux et des idéaux, mettant en lumière l'importance des symétries
et de la structure des groupes dans la physique théorique. Il faut ensuite
attendre 2004 pour soit réalisée un des plus grands résultats concernant
la théorie des groupes, avec l'achèvement de classification complète
des groupes simples finis, un projet monumental mené par de nombreux mathématiciens
pendant plusieurs décennies. Aujourd'hui, la théorie des groupes est
essentielle pour comprendre la symétrie en physique des particules, la
théorie quantique, et même en cryptographie moderne (groupes abéliens,
elliptiques).
Ordre
d'un groupe.
Soit G un groupe.
L'ordre de G, noté |G| ou ord(G), est le nombre d'éléments de
G.
Si G est un groupe
fini, son ordre est un nombre entier fini. Si G est un groupe infini, son
ordre est infini. Par exemple, le groupe des entiers
est un groupe infini.
Exemples : le groupe
trivial {e} (où e est l'élément neutre) a un ordre de 1; le groupe symétrique
S3, qui est le groupe des permutations de trois éléments,
a 6 éléments. Donc, |S3| = 6; le groupe cyclique n
(les entiers modulo n) a n éléments. Il s'ensuit que | n
| = n.
Générateurs
d'un groupe.
Les générateurs
d'un groupe sont les éléments qui, combinés par l'opération de groupe,
permettent de produire tous les éléments du groupe. Plus formellement,
si est un groupe, un ensemble S
G est dit être un ensemble de générateurs de G si tout élément de
G peut être écrit comme un produit fini d'éléments de S et de leurs
inverses. Autrement dit, S est un ensemble de générateurs de G
si tout élément g G peut
s'écrire sous la forme : g = s1e1 s2e2
... snen, où ( si
S ) et ei
{1, -1} pour i = 1, 2,..., n .
Sous-groupes.
Un sous-ensemble
non vide F de E muni d'une loi
est un sous-groupe de (E, ),
pour le dire sommairement, si et seulement si (F, )
est un groupe. Si l'on veut être plus explicite, on dira que (F, )
est un sous groupe de (E, ),
si et seulement F est stable pour la loi
et si le restriction à F de la loi
(encore notée )
munit F d'une structure de groupe.
Sous-groupes
normaux (sous-groupes distingués).
Soit G un
groupe et N un sous-groupe de G. On dit que N est un sous-groupe
normal (sous-groupe distingué ou sous-groupe invariant) de G si
pour tout élément g de G et pour tout élément n de N, l'élément gng-1
appartient à N. Autrement dit, N est invariant par conjugaison par les
éléments de G. On note souvent N ◁ G pour indiquer que N est un sous-groupe
normal de G. Propriétés :
• Identité
et groupe lui-même. - Le sous-groupe trivial {e} (où ( e ) est l'élément
neutre de G) et le groupe G lui-même sont toujours des sous-groupes normaux
de G.
• Intersection.
- L'intersection de deux sous-groupes normaux de G est encore un sous-groupe
normal de G.
• Produit
. Si N et M sont deux sous-groupes normaux de G, alors leur produit NM
(= l'ensemble des éléments de la forme nm où ( n N
) et ( m M ) est aussi un
sous-groupe normal de G.
• Quotient.
- Si N est un sous-groupe normal de G, on peut former le groupe quotient
G/N, qui est l'ensemble des classes d'équivalence de G modulo N. (V. plus
bas).
Exemple : dans un groupe
abélien, tous les sous-groupes sont normaux. Cela est dû au fait que
la conjugaison gng-1 est toujours égale
à n dans un groupe abélien.
Commutateurs
d'un groupe.
Le commutateur de
deux éléments d'un groupe mesure le degré de non-commutativité entre
ces éléments. Le commutateur d'un groupe est l'ensemble des commutateurs
de tous les paires d'éléments du groupe.
Soit G un groupe
et a, b G ). Le commutateur
de a et b, noté [a, b], est défini par :
[a, b] = a-1
b-1 ab. Le commutateur d'un groupe G, noté
[G, G] ou G', est le sous-groupe de G engendré par tous les commutateurs
de G. Autrement dit, [G, G] est le plus petit sous-groupe de G contenant
tous les commutateurs [a, b] pour ( a, b G
). Propriétés :
• Le commutateur
[G, G] est un sous-groupe normal de G.
• Si G est un groupe
abélien, alors [G, G] = {e} ), où e est l'élément neutre de (
G ).
• Le quotient G
/ [G, G] est un groupe abélien, appelé le groupe abélianisé de G.
Centre
d'un groupe.
Le centre d'un groupe
est défini comme l'ensemble des éléments du groupe qui commutent avec
tous les autres éléments du groupe. Plus formellement, si G est
un groupe, le centre de G, noté Z(G), est défini par : ZG
= { z G |
g G, zg = gz }. Cela signifie
que pour tout élément z dans ZG et pour tout élément
g de G, le produit zg est égal au produit gz. Propriétés du centre d'un
groupe :
• Le centre
Z(G) est toujours un sous-groupe de G. En effet, il est facile de vérifier
que Z(G) est fermé sous la loi de composition du groupe et contient l'élément
neutre.
• Si G est
un groupe abélien (c'est-à-dire que tous les éléments de G commutent
entre eux), alors Z(G) = G. Autrement dit, le centre d'un groupe abélien
est le groupe lui-même.
• Le centre Z(G)
est un sous-groupe normal de G . Cela signifie que pour tout g
G ) et tout ( z Z(G) ), l'élément
gzg-1 est également dans Z(G).
• Le centre
Z(G) est un sous-groupe caractéristique de G. Cela signifie que pour tout
automorphisme φ de G, φ(Z(G)) = Z(G).
Morphismes de groupes.
Les morphismes
de groupes sont des applications entre groupes qui respectent leur structure
algébrique. Cela inclut les notions importantes d'homomorphismes d'isomorphismes
et d'automorphismes.
Homomorphismes
de groupes.
Un homomorphisme
de groupes est une application f:G→H où G et H sont deux groupes, qui
satisfait la condition suivante : f(xy) = f(x)f(y),
x,y G. En d'autres termes,
f conserve l'opération du groupe. On a les propriétés suivantes :
• Conservation
de l'élément neutre. - Si eG est l'élément
neutre de G, alors f(eG) = eH,
où eH est l'élément neutre de H.
• Compatibilité
avec les inverses. - Pour tout x
G, f(x−1) = f(x)−1.
• Image d'un
sous-groupe. - Si K est un sous-groupe de G, alors f(K) est un sous-groupe
de H.
• Noyau de f.
- Le noyau de f, noté ker(f), est l'ensemble des éléments de G envoyés
sur l'élément neutre de H : ker(f) = {x
G | f(x)=eH}. ker(f) est un sous-groupe normal
de G.
Exemple : Si G = ( ,+)
et H = ( n,+),
l'application f : Z→Zn définie par f(x) = x
mod n est un homomorphisme.
Isomorphismes
de groupes.
Un isomorphisme
est un homomorphisme bijectif (f est à la fois injective et surjective).
Si f : G→H est un isomorphisme, alors G et H sont dits isomorphes, noté
G≅H.
Conservation de la
structure : f(xy) = f(x)f(y) pour tout x,y G.
Réciproque : L'application
réciproque f−1 : H→G est également
un homomorphisme.
Exemple : le groupe
des réels ( , +) est isomorphe
au groupe des réels strictement positifs ( +,
.)
via l'isomorphisme f(x) = ex.
Automorphismes
de groupes.
Un automorphisme
de groupes est un isomorphisme d'un groupe sur lui-même. Autrement dit,
c'est une bijection (une fonction bijective) qui préserve la structure
de groupe. Exemples et propriétés des automorphismes :
• Identité.
- La fonction identité ( idG : G → G ) définie
par idG(g) = g pour tout g G
est un automorphisme.
• Composition.
- La composition de deux automorphismes est encore un automorphisme. Si
φ et ψ sont des automorphismes de G, alors φoψ
est également un automorphisme de G.
L'ensemble
de tous les automorphismes d'un groupe G forme lui-même un groupe sous
la composition de fonctions, noté Aut(G), et appelé le groupe des automorphismes
de G).
• Inverse.
- L'inverse d'un automorphisme est également un automorphisme. Si φ est
un automorphisme de G, alors φ-1 est aussi
un automorphisme de G.
• Automorphismes
intérieurs. - Un automorphisme intérieur associé à une élément
g G, est un automorphisme
φG : G→ G défini par φG(x)
= gxg-1 pour tout x
G. L'ensemble des automorphismes intérieurs de G forme un sous-groupe
de Aut(G), noté Inn(G). Lorsqu'un automorphisme n'est pas intérieur,
il est dit... extérieur.
• Automorphismes
triviaux. - Dans un groupe abélien, tous les automorphismes intérieurs
sont triviaux (c'est-à-dire la fonction identité), car gxg-1
= x, g, x
G.
Théorème
fondamental des homomorphismes.
Soit f : G→H un
homomorphisme de groupes. Alors : le noyau ker(f) est un sous-groupe
normal de G; l'image Im(f) est un sous-groupe de H; il existe un isomorphisme
naturel : G/ker(f)≅Im(f).
Sous-groupe caractéristique.
Un sous-groupe caractéristique
est un type particulier de sous-groupe qui possède une propriété de
stabilité sous les automorphismes du groupe. Plus formellement, si G est
un groupe et H est un sous-groupe de G, alors H est dit caractéristique
dans G si pour tout automorphisme φ de G, l'image de H par φ est H lui-même.
Autrement dit, H est invariant sous tous les automorphismes de G.
Tout sous-groupe
caractéristique est un sous-groupe normal. En effet, si H est caractéristique,
alors pour tout g G, l'automorphisme
intérieur φG défini par φG
(x) = gxg-1) laisse H invariant, ce qui
signifie que H est normal.
L'intersection de
deux sous-groupes caractéristiques est elle-même un sous-groupe caractéristique.
Si H et K sont des
sous-groupes caractéristiques de G, alors leur produit HK est également
un sous-groupe caractéristique de G.
Le centre Z(G) d'un
groupe G est toujours un sous-groupe caractéristique. En effet, pour tout
automorphisme φ de G φ(z) commute avec tous les éléments de G
si z commute avec tous les éléments de G, donc φ(Z(G)) = Z(G).
Classes latérales.
Les classes latérales
permettent de partitionner un groupe en sous-ensembles de manière à étudier
la structure du groupe par rapport à un sous-groupe donné. Il existe
deux types de classes latérales : les classes latérales à gauche et
les classes latérales à droite.
Pour un élément
g G, la classe latérale à
gauche (à droite) de H par g, notée gH (Hg), est définie par : gH =
{ gh | h H } (Hg = { hg |
h H }). C'est l'ensemble des
éléments de G obtenus en multipliant g à gauche (à droite) par tous
les éléments de H.
Propriétés :
• Partition.
- Les classes latérales à gauche (ou à droite) forment une partition
de G. Cela signifie que chaque élément de G appartient à exactement
une classe latérale à gauche (ou à droite).
• Cardinalité.
- Toutes les classes latérales à gauche (ou à droite) ont le même nombre
d'éléments, qui est égal à l'ordre du sous-groupe H.
• Représentants.
- Pour chaque classe latérale, on peut choisir un représentant. Par exemple,
si gH est une classe latérale à gauche, g est un représentant de cette
classe.
Groupes quotients.
Les groupes quotients
permettent de simplifier un groupe en tenant compte de ses sous-groupes
normaux. Soit G un groupe et N un sous-groupe normal de G (c'est-à-dire
gN=Ng g G).
Le groupe quotient G/N est défini comme l'ensemble des classes à gauche
gN, avec l'opération : ( gN).(hN)=(gh)N. G/N hérite d'une structure de
groupe bien définie grâce à la normalité de N.
Propriétés :
• Premier
Isomorphisme. - Si ϕ:G→H est un homomorphisme de groupes,
alors G/ker(ϕ) est isomorphe à l'image de ϕ.
• Correspondance.
- Il existe une correspondance (homomorphisme) entre les sous-groupes
de G/N et les sous-groupes de G contenant N.
• Ordre.
- Si G est fini, |G/N| = |G|/|N|.
Exemple : /n,
est groupe quotient de Z par le sous-groupe nZ.
Théorème
de Lagrange sur les groupes.
Soit G un groupe
fini, et H un sous-groupe de G. Alors, l'ordre de H (le nombre d'éléments
dans H) divise l'ordre de G (le nombre d'éléments dans G) : |H| divise
|G|. Cela signifie qu'il existe un entier k tel que : |G| = |H|.k, où
k est l'indice de H dans G, noté [G : H], c'est-à-dire le nombre de classes
à gauche (ou à droite, puisque G est un groupe) distinctes formées par
H dans G.
Conséquences : l'ordre
d'un élément g G (le plus
petit entier n > 0 tel que gn = e) divise
l'ordre de G; les tailles des sous-groupes possibles d'un groupe fini G
sont strictement limitées aux diviseurs de |G|.
Groupes cycliques.
Un groupe cyclique
est un groupe, où tous les éléments peuvent être obtenus en élevant
un élément particulier, appelé le générateur, à différentes puissances
(multiplications répétées ou itérations du groupe). Autrement dit :
un groupe G est cyclique s'il existe un élément g
G tel que : G = {gn | n  }.
Dans ce contexte : gn représente l'élément
obtenu en multipliant g avec lui-même n-fois (si G est un groupe multiplicatif)
ou en ajoutant g n-fois (si G est un groupe additif); n peut ête un entier
positif, négatif ou nul. On dit que g génère le groupe G, et g est appelé
un générateur.
Propriétés
des groupes cycliques.
Un groupe cyclique
correspond au type de groupe le plus simple dans la théorie des groupes,
car il est entièrement déterminé par un seul générateur.
Tous les groupes
cycliques sont abéliens (commutatifs), c'est-à-dire que a.b = b.a pour
tous a,b G.
Si G est un groupe
cyclique de taille n, alors chaque diviseur d de n correspond à un sous-groupe
unique de G ayant d éléments. Ces sous-groupes sont également cycliques.
Si G est un groupe
cyclique d'ordre m engendré par g, alors l'ordre de g est m. Cela signifie
que gm = e et que m est le plus petit
entier positif pour lequel cela est vrai.
Si G est un groupe
cyclique fini d'ordre n, alors l'ordre de chaque élément gk(où
g est un générateur) est n/PGCD(k,n). (PGCD = plus grand commun dénominateur).
Tout groupe cyclique
d'ordre n est isomorphe à /n
(le groupe des entiers modulo n, avec l'addition). Un groupe cyclique infini
est isomorphe à
(les entiers relatifs, avec l'addition).
Groupes
cycliques finis et infinis.
• Groupes
cycliques finis. - Un groupe cyclique fini est un groupe cyclique qui
a un nombre fini d'éléments. Tout groupe cyclique fini d'ordre n est
isomorphe au groupe additif /n
(les entiers modulo n ).
+ Tout sous-groupe
d'un groupe cyclique fini est également cyclique. Si G est un groupe cyclique
d'ordre n et d est un diviseur de n, alors G a un unique sous-groupe d'ordre
d.
+ L'automorphisme
de /n
est isomorphe au groupe des unités /n *.
• Groupes cycliques
infinis. - Un groupe cyclique infini est un groupe cyclique qui a un
nombre infini d'éléments. Tout groupe cyclique infini est isomorphe au
groupe additif (les
entiers relatifs). Un groupe cyclique infini a exactement deux générateurs,
g et g-1.
+ Tout sous-groupe
d'un groupe cyclique infini est également cyclique. Si G est un groupe
cyclique infini engendré par g, alors les sous-groupes de G sont de la
forme <gk > pour k 1.
+ L'automorphisme
de est isomorphe au
groupe {1, -1}, qui a 2 éléments.
Groupes de permutations.
Groupe symétrique Sn.
Le groupe de toutes
les permutations d'un ensemble S, muni de la composition de applications
(o) comme opération de groupe, est appelé groupe
symétrique sur S. Il est noté Sym(S) ou Sn si
S = {1, 2, ..., n}, (c'est-à-dire si n = |S| est la taille de l'ensemble).
Une permutation d'un
ensemble S est une bijection de S sur lui-même. Cela signifie que chaque
élément de S est envoyé sur un autre élément (ou lui-même) de S,
de manière que chaque élément apparaisse exactement une fois.
+ Exemple
: pour X = {1,2,3}, la permutation σ, qui indique que 1 2,
2 3 et 3 1,
est
:

Si S est un ensemble
fini de n éléments, alors Sym(S) (ou Sn) a
n! (factorielle de n) éléments. C'est le nombre de permutations possibles
de n éléments. Par exemple : S3 contient 3! =
6 permutations.
La signature d'une
permutation σ est un homomorphisme de Sn dans le
groupe {1, -1}. Elle est déterminée par le nombre de transpositions (permutations
qui échangent deux éléments) dont elle est composée. Une permutation
est paire et de signature 1 si ce nombre est pair,
et impaire et de signature -1 si ce nombre est impair.
Cycle
et notation cyclique.
Un cycle est une
permutation qui déplace un certain nombre d'éléments de S de manière
circulaire et laisse les autres éléments invariants. Par exemple, le
cycle (1 2 3) dans S3 est
la permutation qui envoie 1 sur 2, 2 sur 3 et 3 sur 1, et laisse les autres
éléments invariants.
Toute permutation
peut être décomposée de manière unique (à l'ordre près) en un produit
de cycles disjoints. Par exemple, la permutation (1 2 3)(4)
dans S4 est la permutation qui envoie 1 sur 2, 2 sur
3, 3 sur 1, 4 sur 4.
Tout cycle de longueur
k est un élément d'ordre k. Les cycles disjoints commutent entre eux.
Sous-groupes
de Sn.
• Groupe
alterné An : sous-groupe des permutations paires
de Sn (les permutations ayant un nombre pair d'inversions).
Ordre : |An| = n!/2. An
est normal dans Sn.
• Sous-groupes
générés par des cycles : Exemple : <(1 2) > dans S3
génère un sous-groupe d'ordre 2.
• Sous-groupes
diagonaux et sous-groupes spécifiques dépendant de n.
Propriétés
générales des groupes de permutations.
Toute permutation
peut être écrite comme un produit de transpositions (permutations échangeant
deux éléments). Exemple : (1 2 3)=(1 2)(2 3)(1 2 3)=(1 2)(2 3).
Théorème de Cayley
: tout groupe fini G est isomorphe à un sous-groupe d'un groupe symétrique
Sn, où n = |G|.
Les groupes symétriques
Sn sont non commutatifs pour n ≥ 3, c'est-à-dire
que στ≠τσ général.
+ Exemples.
- S2 : ensemble : {e,(1 2)}, abélien d'ordre 2.
S3 : permutations-:
e, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2), non abélien d'ordre 6.
Actions de groupes
.
Les actions de groupes
sont une manière d'étudier la manière dont un groupe agit sur un ensemble.
Définition
d'une action de groupe.
Soit G un groupe
et X un ensemble. Une action de G sur X est une application . : G×X→X
(notée g.x), qui satisfait les propriétés suivantes :
Compatibilité avec la loi de groupe : (gh).x = g.(h.x),
g, h G, x
X.
Action de l'élément neutre : e.x =x x
X, où e est l'élément neutre de G.
Une action peut être
vue comme une façon de "déplacer" les éléments de XXsous l'influence
des éléments de G.
Exemples d'actions
de groupe :
•
Translation dans un espace vectoriel : Si G =
et X = n,
alors t.x = x+t est une action de G sur X.
• Action par conjugaison
: Si G agit sur lui-même, on peut définir g.x = gxg−1,
où g,x G.
• Action
d'un groupe de permutations : Le groupe symétrique Sn
agit sur l'ensemble {1, 2,…, n} par réarrangement.
Orbites
et stabilisateurs.
L'orbite d'un élément
x X sous l'action de G est
l'ensemble des éléments de X accessibles depuis x par l'action de G :
Orb(x) = {g.x | g G}. L'ensemble
X est partitionné en orbites disjointes par l'action de G.
Le stabilisateur
d'un élément x X sous l'action
de G est le sous-groupe de G qui laisse x invariant : Stab(x) = {g
G | g.x =x }. Stab(x) est toujours un sous-groupe de G.
Si G agit sur un
ensemble X et x X, alors il
existe une relation fondamentale entre la taille de l'orbite de x, la taille
du stabilisateur de x, et l'ordre du groupe G : |G|=|Orb(x)|.|Stab(x)|.
Cela découle du fait que G agit sur l'orbite de x de manière bijective.
Formule
des classes.
La formule des classes
décrit la décomposition de X en orbites et relie la taille de G à ces
orbites :
où xi
représente un représentant distinct de chaque orbite.
Théorèmes de
Sylow.
Les
théorèmes de Sylow sont un ensemble de résultats fondamentaux en théorie
des groupes finis, qui portent le nom du mathématicien Peter Ludwig Sylow.
Ils fournissent des informations sur la structure des groupes finis en
garantissant l'existence et en décrivant certaines propriétés des sous-groupes
d'ordre une puissance d'un nombre premier. Voici les trois théorèmes
de Sylow :
•Premier
théorème de Sylow. - Soit G un groupe fini d'ordre n = pkm,
où p est un nombre premier, k est un entier positif et m est un entier
tel que p ne divise pas m. Alors G possède au moins un p-sous-groupe de
Sylow d'ordre pk. Un p-sous-groupe de Sylow
est un sous-groupe d'ordre pk.
• Second
théorème de Sylow. - Soit G un groupe fini d'ordre n = pkm
comme ci-dessus. Tous les p-sous-groupes de Sylow de G sont conjugués.
Cela signifie que si P et Q sont deux p-sous-groupes de Sylow de G, il
existe un élément g G tel
que gPg⁻¹ = Q.
• Troisième
théorème de Sylow. - Soit G un groupe fini d'ordre n = pkm
comme ci-dessus. Soit np le nombre de p-sous-groupes
de Sylow de G. Alors :
np ≡ 1 (mod p)
np divise m
Les théorèmes de Sylow
permettent de décomposer un groupe fini en sous-groupes plus petits et
plus faciles à étudier. En combinant les théorèmes de Sylow avec d'autres
résultats de la théorie des groupes, il est possible de classifier tous
les groupes finis d'ordre inférieur à un certain seuil.
Classification
des groupes finis simples.
La classification
des groupes finis simples est un des résultats majeurs de la théorie
des groupes. Un groupe fini simple est un groupe fini qui ne possède pas
de sous-groupe normal autre que le groupe trivial et lui-même. Ces groupes
jouent un rôle central dans la structure des groupes finis, car ils constituent
les "blocs de construction" dans la décomposition de Jordan-Hölder.
La classification
complète des groupes finis simples est le fruit de décennies de travaux
combinés par de nombreux mathématiciens, achevés dans les années 1980.
Énoncé de la classification
: tout groupe fini simple appartient à l'une des catégories suivantes
:
Groupes
cycliques d'ordre premier.
Groupes alternés
An pour n≥5.
Groupes de Lie finis
(ou groupes simples de type classique).
Groupes sporadiques.
Groupes
cycliques d'ordre premier.
Ces groupes sont
les plus simples. Si p est un nombre premier, alors le groupe cyclique
Cp d'ordre p est simple, car il n'a aucun sous-groupe
normal non trivial. Exemple : /p
sous l'addition modulo p.
Groupes
alternés An.
Le groupe alterné
An, qui est le sous-groupe des permutations paires
du groupe symétrique Sn, est simple pour n≥5.
Ces groupes sont les premiers exemples de groupes non abéliens simples.
Ordre : |An| = n!/2. Exemples : A5 (ordre 60) est
le plus petit groupe simple non abélien; A6 (ordre
360) est également simple.
Groupes
de Lie finis (ou groupes classiques).
Ces groupes apparaissent
à partir des groupes de Lie définis sur
des corps finis. Ils incluent plusieurs familles infinies classées en
fonction des types de groupes de matrices ou de transformations. Types
principaux :
• Groupes
linéaires projectifs : PSL(n, q), où n≥2 et q est une puissance
d'un nombre premier. Exemples : PSL(2, 7) (ordre 168), PSL(3, 2)(ordre
168).
• Groupes
unitaires projectifs : PSU(n, q), définis à partir de matrices préservant
une forme hermitienne.
• Groupes symplectiques
projectifs : PSp (2n, q), qui préservent une forme bilinéaire antisymétrique.
• Groupes orthogonaux
: PΩ(n,q), qui préservent une forme quadratique.
Ces groupes sont simples
pour certaines valeurs spécifiques de n et q. Ils forment des familles
infinies de groupes finis simples.
Groupes
sporadiques.
Les groupes sporadiques
sont des groupes finis simples qui n'appartiennent à aucune des familles
infinies mentionnées précédemment. Il en existe exactement 26, et ils
sont souvent considérés comme des "exceptions" dans la classification.
Exemples notables-:
• Groupes
de Mathieu : M11, M12, M22,
M23, M24, avec M24 (ordre
244.823.040) comme le plus grand.
• Groupes de
Janko : J1, J2, J3,
J4.
• Groupe de
Conway : Co1, Co2,
Co3, associés au réseau de Leech.
• Groupes de
Fischer : Fi22, Fi23,
Fi24.
• Groupe Monstre
M (groupe de Fischer-Griess) : le plus grand groupe sporadique (ordre
~ 8×1053). Connexions profondes avec la
théorie des cordes et la théorie des nombres.
Théorème
de Jordan-Hölder.
Toute décomposition
d'un groupe fini en séries normales donne des facteurs isomorphes à des
groupes simples. Les groupes simples servent donc de "blocs de construction". |
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