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Fractions

En mathématiques, on appelle fractions ou nombres fractionnaires les nombres qui servent à désigner les quantités que l'on peut obtenir en ajoutant des parties de l'unité partagée en parties égales, ou, comme l'on dit, des parties aliquotes de l'unité. Une fraction moindre que l'unité est ce que l'on appelle une fraction proprement dite. On dénomme une fraction en énonçant d'abord le nombre de parties de l'unité dont elle se compose, nombre que l'on appelle le numérateur, en le faisant suivre du nombre de parties dans lesquelles l'unité a été divisée, nombre que l'on appelle dénominateur et que l'on fait suivre de la terminaison ième. Au lieu de deuxième, troisième, quatrième, on dit demi, tiers, quart. On représente une fraction en écrivant son numérateur au-dessus de son dénominateur et en les séparant par une barre horizontale; le numérateur et le dénominateur sont ce que l'on appelle les termes de la fraction. Une fraction ne change pas de valeur, c.-à-d. ne cesse pas de représenter la même quantité quand on multiplie ou quand on divise (si cela se peut) ses deux termes par un même nombre. Il résulte de là que l'on simplifie l'expression d'une fraction en divisant ses deux termes par leurs facteurs communs ; on peut même démontrer qu'une fraction est réduite à sa plus simple expression quand ses deux termes sont premiers entre eux, ce à quoi l'on arrive en divisant les deux termes par leur plus grand commun diviseur. Une fraction réduite à sa plus simple expression est dite irréductible.

Étant données des fractions quelconques, on peut toujours les remplacer par d'autres qui leur sont respectivement égales et qui ont toutes le même dénominateur. Cette opération est ce que l'on appelle la réduction au même dénominateur. Pour réduire des fractions au même dénominateur, on peut multiplier les deux termes de chacune d'elles par le produit du dénominateur des autres, mais on n'obtient pas toujours ainsi la réduction au plus petit dénominateur commun possible, lequel est le plus petit multiple des dénominateurs des fractions proposées, réduites à leur plus simple expression. L'addition, la comparaison, la soustraction des fractions est rendue facile par leur réduction au même dénominateur. Nous nous arrêterons quelques instants sur la multiplication, parce que l'on donne, dans la plupart des livres d'arithmétique destinés aux enfants, une définition vicieuse de cette opération; la vraie définition à donner est très simple : multiplier un nombre par une fraction, c'est prendre cette fraction de ce nombre; ainsi, multiplier un nombre par 2/3, c'est en prendre les 2/3 quand on donne cette définition, il est bon de montrer que, si un problème à données entières conduit à une solution qui est le produit de deux entiers, le même problème conduit encore à faire un produit quand les données deviennent fractionnaires. On démontre que le produit de plusieurs fractions est une fraction qui a pour numérateur le produit des numérateurs et pour dénominateur le produit des dénominateurs de ces fractions.

Diviser un nombre entier ou fractionnaire, appelé dividende, par un autre appelé diviseur, c'est trouver un nombre appelé quotient qui, multiplié par le diviseur, donne le dividende; la division des fractions se fait en multipliant le dividende par le diviseur renversé, c.-à-d. par une fraction dont le numérateur est égal au dénominateur du diviseur, et vice versa. Tous les traités d'arithmétique contiennent les règles détaillées du calcul des fractions; nous n'insisterons pas davantage sur ce point.

Comme l'on a donné des fractions plusieurs définitions, je me crois obligé de dire quelles sont les raisons qui m'ont fait adopter celle que je viens de donner. Un grand nombre de personnes pensent que les définitions sont tout à fait arbitraires : je ne le crois pas; je pense, au contraire, que beaucoup de définitions ont simplement pour but de fixer avec précision le sens d'un mot dont on a déjà une notion souvent assez complète, afin de permettre d'employer ce mot dans le raisonnement. Il est certain que tout le monde sait que un tiers, trois quarts... sont des fractions, et il n'est pas besoin d'avoir cultivé les sciences mathématiques pour savoir ce que c'est que la moitié d'un gâteau ; un enfant de deux ans ne s'y trompera pas. Si l'on veut donner une définition du mot fraction, il faut évidemment que l'ignorant qui lira cette définition puisse se dire : « hé bien! oui, c'est bien cela que je pensais. » En tâchant de nous conformer le plus possible à ces principes, nous dirons qu'une fraction est un nombre qui sert à désigner des quantités qui résultent de l'addition de parties égales de l'unité; cette définition comprend comme cas particulier les nombres entiers eux-mêmes; mais, loin d'être un inconvénient, c'est là souvent un grand avantage. Pourquoi, dira-t-on, prendre tant de précautions pour donner une définition aussi simple et que l'on trouve dans tous les traités d'arithmétique? A cela je répondrai que des mathématiciens, connus par des travaux importants, ont jugé à propos de donner d'autres définitions du mot fraction; parmi toutes ces définitions, je choisirai la plus bizarre : 

« Une fraction est l'ensemble de deux entiers, rangés dans un ordre déterminé, sur lequel on fait certaines conventions relatives aux opérations. »
Au point de vue rigoureusement logique, il est sans doute permis de donner une pareille définition du mot fraction, mais je nie qu'elle soit accessible à de jeunes esprits et qu'elle soit empreinte de ce caractère de simplicité que l'on recherche dans les méthodes d'enseignement. Pour quelques auteurs, les mathématiques sont un jeu de logique; d'autres y voient autre chose : plus terre à terre que les premiers, ils cultivent les sciences pour leurs applications et aussi pour se former le jugement. Prenons garde! On peut avoir l'esprit faux, c. -à-d. se former une conception étrange du monde réel, tout en raisonnant juste sur des données particulières. 
Fractions de fractions. - On appelle ainsi les quotients non effectués de deux nombres entiers ou fractionnaires: telle est l'expression b ou a et b sont des nombres fractionnaires. Le calcul des fractions de fractions est soumis aux mêmes règles que le calcul des fractions ordinaires.

Fractions décimales. - On appelle fraction décimale une fraction dont le dénominateur est 10 une puissance de 10; il n'y aurait rien de particulier à dire sur ces fractions, s'il ne se présentait pas pour les représenter une notation particulière. Les fractions décimales ou nombres décimaux peuvent s'écrire en suivant les mêmes règles que pour écrire les nombres entiers; il suffit en effet de convenir qu'un chiffre placé à la droite d'un autre exprime des unités dix fois plus faibles; une virgule sépare la partie entière (qui peut être nulle) d'un nombre décimal, de la partie fractionnaire proprement dite. Pour la théorie des fractions décimales, nous renverrons le lecteur aux traités élémentaires d'arithmétique.

Fractions périodiques. - On appelle fractions décimales périodiques celles dans lesquelles à partir d'un certain moment les mêmes chiffres se reproduisent indéfiniment et dans le même ordre; ces fractions sont en réalité des progressions géométriques, et c'est à cette théorie que l'on devrait logiquement rapporter celle des fractions périodiques. On appelle période l'ensemble des chiffres qui se reproduisent dans le même ordre. La fraction est périodique simple quand la période commence immédiatement après la virgule, elle est périodique mixte dans le cas contraire. Une fraction périodique simple est égale à une fraction ordinaire dont le numérateur est la période et dont le dénominateur est un nombre formé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres dans la période; cela est évident si l'on observe que la valeur de la fraction périodique est celle d'une progression géométrique illimitée dont la raison est l'unité divisée par une puissance de 10 marquée par ta nombre des chiffres de la période, et dont le premier terme est la période divisée par la raison. Une remarque analogue montre que la valeur d'une fraction périodique mixte est égale à une fraction dont le numérateur est égal à un nombre formé de la partie non périodique suivi d'une période diminuée d'un nombre égal à la partie non périodique et dont le dénominateur est un nombre formé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres dans la période suivis d'autant de zéros qu'il y a de chiffres non périodiques. Exemple : 0,27 27 27.... = 27 /99 = 3/11.

Quand on divise un entier par un autre, trois cas peuvent se présenter: 

1°) le quotient réduit en décimales peut se terminer; 

2°) il peut être périodique simple; 

3°) il peut être périodique mixte. 

Supposons le dividende et le diviseur premiers entre eux (ce que l'on peut toujours faire) le premier cas se présentera quand le diviseur ne contiendra que les facteurs premiers 2, 5, le second cas se présentera quand le diviseur ne contiendra ni facteurs égaux à 2, ni facteurs égaux à 5, enfin le quotient sera mixte si le diviseur contient, outre les facteurs 2 ou 5, d'autres facteurs premiers.

Fractions algébriques. - Les fractions algébriques sont des expressions de la forme a/ b dans lesquelles a et b peuvent être des quantités algébriques quelconques. 

Elles jouissent des mêmes propriétés que les fractions ordinaires.

Frations rationnelles, Fractions simples. - On appelle fractions rationnelles des fractions dont les deux termes sont des polynomes entiers; ordinairement le numérateur est supposé de degré inférieur au dénominateur.

 On appelle fractions simples des  fractions de la forme :

A/(x-a)m, (Px+Q)/ [(x+a)2+b2]n,

A, a, n, P, Q, a, b désignant des quantités indépendantes de x; m et n sont entiers et positifs.

Toute fonction rationnelle de x est décomposable en polynôme entier et en une somme de fractions simples.

Un certain nombre de fonctions transcendantes sont développables en séries dont les termes sont des fractions simples. (H. Laurent).

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