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La
fonction
exponentielle décrit une croissance ou une décroissance très rapide.
Son comportement de croissance rapide, sa simplicité de dérivation et
d'intégration, ainsi que sa présence dans de nombreux phénomènes naturels
et artificiels en font un outil indispensable dans de nombreux domaines
scientifiques et techniques. Elle se présente sous plusieurs formes. La
plus générale s'écrit f : x ![]() La fonction exponentielle réelleLa fonction exponentielle est définie par : expâ¡(x) = ex , où e ≈ 2,71828... est la base du logarithme naturel, appelée constante ou nombre d'Euler. Elle associe à chaque réel x un réel strictement positif.Propriétés de
la fonction exponentielle.
L'image est l'ensemble
des nombres réels strictement positifs. La fonction ne prend jamais la
valeur 0 ou des valeurs négatives : autrement dit : exp⡠: Dérivée.
Primitive.
Valeur
en x = 0.
Croissance.
Comportement
asymptotique.
Propriétés
algébriques.
ea+b = ea.ebLien avec les logarithmes. La fonction réciproque de ex est le logarithme naturel lnâ¡(x) tel que : lnâ¡(ex) = x et elnâ¡(x) = x. La fonction exponentielle peut être définie par le développement en série entière suivant : ![]() Cette série converge pour tout réel x. Représentation
graphique.
La fonction exponentielle
et les équations différentielles.
Équation
différentielle linéaire à coefficients constants.
y′ = ky avec k où y est la fonction inconnue dépendant d'une variable xx, y′ représente la dérivée de y et k est une constante réelle. Résolution
de l'équation y′=ky.
1) En dérivant cette expression :Cette égalité est toujours vérifiée pour tout x, ce qui confirme que y(x)=Cekx est bien solution. Exemple
de résolution avec condition initiale.
Cas
d'une équation différentielle d'ordre supérieur.
Exemple : équation différentielle homogène d'ordre 2 : Soit l'équation : y′′−4y′+4y = 0 (y" étant la dérivée seconde de y). On suppose une solution de la forme y(x) = eλx où λ est un paramètre à déterminer. En dérivant : y′(x) = λeλx , y′′(x) = λ2eλx.On factorise par eλx (qui est toujours différent de 0) : λ2−4λ+4=0. Résolvons l'équation
caractéristique : (λ−2)2 = 0 La solution générale de l'équation différentielle est alors : y(x) = (C1+C2x)e2x, où C1​ et C2 sont des constantes à déterminer à partir des conditions initiales. Applications
dans les sciences.
• Croissance exponentielle (biologie, économie). - Les modèles de croissance exponentielle décrivent des phénomènes tels que la croissance des populations, les intérêts composés ou l'accroissement des infections dans une épidémie. y′=ky La fonction exponentielle complexeLa fonction exponentielle complexe est une extension naturelle de la fonction exponentielle réelle à l'ensemble![]() Définition de
l'exponentielle complexe.
ez = ex+iy = ex.eiy Ici : • ex est la partie réelle qui agit comme un facteur d'amplitude (un facteur d'échelle),Lien avec la trigonométrie : formule d'Euler. La partie eiy est donnée par la formule d'Euler : eiy = cosâ¡(y) + isinâ¡(y), où cosâ¡(y) et sinâ¡(y) sont les fonctions trigonométriques usuelles. Par conséquent, pour un nombre complexe z=x+iy, on obtient : • Le terme ex donne, ici encore, un facteur d'amplitude (lié au module),Représentation géométrique. Dans le plan complexe, ez représente une spirale logarithmique. Le module de ez est |ez| = ex. L'argument de ez est y. Si x=0 (c'est-à -dire z = iy), alors eiy représente une rotation sur le cercle unité d'angle y. Propriétés de
l'exponentielle complexe.
Multiplication des exposants : ez1+z2
= ez1.ez2 , Lien
avec les puissances et séries.
Exponentielle
purement imaginaire.
Exemple numérique.
1) Appliquons la formule : ez = e1+iπ = e1.eiπ. |
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