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Histoire des mathématiques
Les chiffres
Le système de notation numérique adopté de nos jours est basé sur une idée aussi simple que féconde en résultats : c'est d'attacher à chaque signe ou symbole non-seulement une valeur absolue, mais encore une valeur de position. Les chiffres  adoptés (1, 2, 3, 4, 5, 0, 7, 8, 9, 0) sont communément appelés chiffres arabes; ce n'est pas qu'ils aient été empruntés tels qu'on les trace de nos jours, aux Arabes, mais c'est en souvenir du système entier de numération qu'ils ont transmis. D'autres systèmes de notations ont été en usage au cours de l'histoire. On se contentera ici de mentionner rapidement les systèmes utilisés par les Hébreux et les Grecs, puis, plus longuement les systèmes de chiffres romains et de chiffres arabes.
Figuration des nombres chez les Hébreux et les Grecs.
Chez les Hébreux, les nombres sont figurés par des lettres et, de deux lettres, celle de droite représente la valeur la plus élevée; les mille, dizaines et centaines de mille seront représentés par les mêmes caractères, surmontés de deux points. Voici un tableau résumé :
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Chiffres hébreux.

Les Grecs employaient un système analogue, mais où les chiffres les plus forts se plaçaient à la gauche, cette fois, des plus faibles. Ainsi, leurs symboles principaux
étaient :
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Chiffres grecs.

Cependant, les Grecs n'avaient pas de système homogène : les myriades (c'est-à-dire les dix-mille) pouvaient se noter de plusieurs façons différentes; parfois, ils utilisaient les grandes lettres avec une manière de chiffrer analogue à celle des Romains. Les lettres renfermées l'une dans l'autre figuraient une multiplication. Ainsi, par exemple :

= 10.000 X 100 = 1.000.000
car ils adoptaient alors
H (ou F) [Hekaton ou Fekaton pour ekaton] = 100 
et M (myrioi) = 10.000.

Chiffres romains. 
On désigne abusivement sous le nom de chiffres romains les caractères d'un système de numération écrite, employé dans l'Occident latin avant l'introduction des véritables chiffres (vulgairement appelés arabes) et dont on continue à se servir en typographie, malgré ses imperfections, pour faciliter les distinctions de numérotage. Ces caractères sont au-nombre de sept, à savoir quatre pour les unités d'ordre successif, I (un), X (dix), C (cent), M (mille); trois pour les demi-unités, V (cinq), L (cinquante), D (cinq cents) :
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I = 1
V = 5
X = 10
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1000
.............

Les principes de cette numération sont la répétition, jusqu'à quatre au plus, des unités d'un même ordre; l'addition de tous les nombres figurés, tant que les caractères de valeur supérieure sont placés à gauche. Par une règle généralement adoptée aujourd'hui, on évite la juxtaposition de quatre unités du même ordre, grâce à un principe dit de soustraction, en plaçant une unité de cet ordre à gauche de l'unité ou de la demi-unité d'ordre supérieur. Abstraction faite de ce dernier principe, que les Romains n'employaient pas d'ailleurs toujours, mais qu'ils appliquaient parfois en lui donnant une plus grande extension, leur numération écrite était identique, sauf les caractères, avec celle dont les Grecs se sont servis avant l'invention des lettres numérales (IIIe siècle av. J.-C.), et qu'on retrouve dans leurs inscriptions. Mais les caractères de ces inscriptions grecques représentent, sauf pour l'unité simple, les initiales des noms de nombre (système dit d'Hérodien). Il en était autrement chez les Romains, malgré l'apparence contraire pour les lettres C et M. Le véritable caractère romain pour mille n'est en effet nullement la lettre M (qui est en réalité l'abréviation de millia); c'est , aussi figuré , d'où est dérivé, comme moitié D ou , signe qui n'est pas aussi ancien que les autres. Les formes  et  ont été encore assez longtemps employées en typographie, notamment pour l'indication des millésimes. 

De même, dans les anciennes inscriptions, cent est figuré , et la transformation, cette fois déjà antique de ce signe, en C a eu lieu par rapprochement avec l'initiale du nom de nombre. Les caractères numéraux des Romains, autres que le D, paraissent avoir été empruntés par eux aux Etrusques, qui les employaient à la fois comme lettres et comme signes numériques. Mais l'ignorance où l'on est de la désignation des nombres en étrusque, ne permet pas de reconnaître le lien qui a pu exister entre les deux significations. On est cependant plutôt porté à penser que ce lien était purement arbitraire. Ainsi, il est clair que I, signifiant un, n'est nullement la lettre i, mais la barre verticale dont l'usage numérique est universel. X (+ dans les inscriptions étrusques, lettre correspondant à t), semble de même avoir été originairement un signe purement conventionnel, dont V est la moitié. C'est par suite de l'existence de ce signe que les Romains ont dit decussare pour couper en croix, decumana pour la ligne qui croise, la racine decem étant liée dans leur esprit à la forme de la croix. Pour les lettres supérieures, aucune explication plausible n'a été donnée; remarquons seulement que L était antérieurement  et  dans les inscriptions étrusques. 

Les chiffres romains, d'après les règles actuelles, ne permettent de représenter les nombres que jusqu'à 4999, le signe pour 5000 n'existant pas. Il faut d'ailleurs observer que le principe soustractif n'a guère, dans la pratique, été étendu au C devant M et que, d'après les habitudes des manuscrits, CM, comme on va le voir, doit se lire 100.000 plutôt que 900 (DCCCC). Pour les nombres supérieurs, les Romains n'avaient pas de système régulier; le plus souvent, dans les manuscrits latins, le nombre des mille est écrit comme un nombre d'unités simples, mais soit surmonté d'un trait horizontal, soit suivi de la lettre M (abréviation de millia). Ainsi, dans Pline, DCCCXC.M.D. pour 890,500. D'autre part, un nombre encadré par un trait horizontal au-dessus, et deux traits verticaux à droite et à gauche, exprime des centena millia. Ainsi, encore dans Pline, LXXXVIII XC.M, doit se lire 8,895,000. Il y a là introduction de principes multiplicatifs et élévatoires étrangers au système répétitif, additif et soustractif originaire.

Chiffres arabes.
On désigne sous le nom de chiffres arabes les dix caractères 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, quand on les oppose aux signes numéraux que représentaient les chiffres romains. Il serait préférable de dire chiffres modernes, puisqu'au sens propre, les chiffres arabes sont ceux qu'emploient les Arabes et dont la forme est sensiblement différente de celle des nôtres. La figuration des chiffres, telle qu'elle est adoptée aujourd'hui, n'est au reste uniformément fixée que depuis l'invention de l'imprimerie. Dans les manuscrits occidentaux du Moyen âge, elle offre, suivant les temps et les pays, de nombreuses variétés, et dont il subsiste encore une trace dans la forme secondaire du 5 écrit.

On ignore l'époque précise à laquelle les chiffres s'introduisirent en Occident : les plus anciens rnanuscrits ou on les rencontre ne paraissent pas remonter au delà du XIe siècle. En tous cas, la forme la plus archaïque est connue sous le terme : apices de Boèce, parce qu'elle se trouve dans la Geometria attribuée à cet auteur, mais qui est l'oeuvre d'un faussaire dont l'âge, inconnu d'ailleurs, ne doit pas remonter au delà du IXe siècle. D'après le récit de cet écrivain, les neuf chiffres significatifs seraient une invention pythagoricienne, liée à celle de l'abacus.

Le pseudo-Boèce ne donne pas au reste les règles du calcul de l'abacus; on les trouve dans les Oeuvres de Gerbert (Liber abaci de son élève Bernelinus), mais il n'est nullement établi que Gerbert ait jamais employé les chiffres dits de Boèce; il paraît s'être exclusivement servi de jetons marqués à la romaine. On ignore également quelles sont en réalité les origines de l'abacus du Moyen âge, essentiellement différent des abaques de l'Antiquité, et auquel on n'a, historiquement, trouvé rien d'analogue. Le système de numération écrite de position n'a été introduit en Occident qu'à la suite de la traduction en latin (probablement par Adelard de Bath, vers 1120) du traité de calcul de Mohammed ben Mouça-AI-Khârismi, dont, le nom (algorismus, algorithme) passa à l'ensemble des nouveaux procédés de calcul ainsi révélés. 

C'est donc au XIIe siècle seulement que le zéro fut réellement connu en Europe sous le nom de chiffre (cyfre, etc., transcription de sa désignation arabe qui signifie vide) : ce mot a ensuite été abusivement étendu aux autres signes numéraux. Quoi qu'en ait dit le pseudo-Boèce, il est très probable que ces signes, déjà connus depuis un ou deux siècles et employés par les abacistes, avaient été empruntés aux Arabes de l'Occident, dont les chiffres, dits gobar, ont en effet avec les apices une ressemblance sensible, tandis que ceux des Arabes orientaux s'en écartent notablement. 

Les Grecs de Byzance restèrent, plus longtemps que les Latins, fidèles aux traditions antiques; leur système de numération alphabétique était du reste infiniment supérieur à celui des Romains. Cependant des chiffres semblables à ceux des Arabes d'Orient apparaissent déjà dans des manuscrits grecs mathématiques du XIIe siècle, mais le véritable rôle du zéro ne paraît pas encore connu. D'après un scolie du moine Neophytos, chaque chiffre doit être surmonté d'un nombre de petits cercles égal à l'exposant de la puissance de 10 qui le multiplie. Ce système se trouve effectivement employé dans des auteurs élémentaires arabes, pour faciliter l'enseignement, et l'on a même cru longtemps qu'il y avait là un mode de numération spécial, pour lequel servaient les chiffres gobar. Woepcke a démontré que cette opinion était erronée.

Les Latins importèrent leurs chiffres à Constantinople au XIIIe siècle et ils y restèrent à côté des formes arabes ou persanes (adoptées par Maxime Planude dans son traité du Calcul hindou, écrit vers 1300). Ce dernier titre indique l'origine véritable des chiffres, unanimement reconnue du reste par tous les auteurs orientaux. Après avoir forgé tout d'abord, à l'imitation de celui des Grecs, un système alphabétique qui s'est longtemps maintenu pour les calculs astronomiques, les Arabes apprirent à connaître la numération indienne vers la seconde moitié du VIIIe siècle et Al-Khârismi, au commencement du IXe, marque l'époque de son adoption définitive. 

Il est difficile de rechercher plus haut l'origine des chiffres; il y en a aujourd'hui en Inde une douzaine de variétés qui toutes s'écartent plus ou moins des formes adoptées par les Arabes d'Orient ou d'Occident. Mais si l'on peut affirmer qu'à la fin du Ve siècle, le mathématicien indien Aryabhata connaissait déjà la numération de position, on ignore les formes usitées à cette époque et la date de leur invention. Les conjectures émises pour déduire les formes primitives de nos chiffres d'initiales de mots sanscrits manquent donc de fondement. Les recherches épigraphiques n'ont d'un autre côté fourni jusqu'à présent que des documents qui ne sont pas décisifs, tout en nous conduisant environ jusqu'au IIe siècle de notre ère. 
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De nombreux érudits (Waepcke, Th.-H. Martin, M. Cantor) ont soutenu la véracité du récit de la Geometria de Boèce et essayé de le concilier, au moyen de diverses hypothèses, avec les autres faits relatifs à la transmission des chiffres. Ceux-ci auraient été en réalité connus des néopythagoriciens (sans le zéro, pour le calcul sur l'abacus), soit qu'ils les aient inventés en empruntant partiellement des signes numéraux à l'écriture hiératique égyptienne, et que d'Alexandrie ces chiffres soient passés dans l'Inde par le commerce, soit qu'au contraire les néopythagoriciens aient pris les signes déjà en usage en Inde. L'abacus et les chiffres seraient passés à Rome, ainsi que dans l'Afrique romaine, où les Arabes les auraient trouvés lors de leurs conquêtes. De là seraient venus, d'une part, les apices de Boèce, de l'autre les chiffres gobar, tandis que les Arabes orientaux retrouvaient en Inde les symboles analogues, mais cette fois avec le zéro, qui dans tous les cas est reconnu comme une invention indienne. Si séduisantes que soient ces hypothèses à divers égards, et quoiqu'elles ne présentent aucune impossibilité absolue, elles reposent sur un fondement beaucoup trop incertain pour pouvoir être accueillies comme valables.

Quant à l'origine des noms singuliers qui accompagnent les apices dans les manuscrits, elle a donné lieu à de nombreuses dissertations; on a notamment voulu (Vincent) y retrouver des mots grecs et appuyer ainsi la thèse de l'origine néopythagoricienne. Quoique plusieurs des étymologies proposées soient inacceptables, il est certain que, grâce à la riche synonymie mystique des pythagoriciens pour les nombres de la décade, c'est ainsi qu'on peut encore le plus facilement expliquer la totalité de tous ces noms, quoiqu'au moins deux d'entre eux, pour 4 et 8, représentent immédiatement les racines sémitiques des noms de ces nombres. Mais de pareilles recherches sont illusoires, comme toutes les tentatives étymologiques, quand on ne possède pas les éléments suffisants; ici, il serait essentiel de retrouver tout d'abord les noms dont il s'agit sous la forme d'où ils ont été transcrits. Cette forme est certainement sémitique; elle peut d'ailleurs être arabe ou hébraïque, car il est assez probable que les Juifs ont été agents plus ou moins actifs dans la transmission des chiffres. 

Il est d'ailleurs très possible que les noms en question ne se trouvent liés aux chiffres que d'une façon tout accidentelle. Ils peuvent ne représenter que des désignations conventionnelles d'un jargon secret soit de marchands, soit peut-être d'astrologues. J'ajouterai deux remarques indispensables : la filiation des diverses variétés de chiffres peut souvent être masquée par des anomalies peu explicables; il est certain toutefois que chaque peuple a modifié les siens en les rapprochant des caractères de son écriture. Ce fait est très visible chez les Arabes d'Orient, comme chez les Grecs byzantins, et les apices de Boèce ont certainement subi des influences de ce genre. 

L'invention des neuf premiers chiffres est scientifiquement un fait secondaire relativement à celle du zéro. Or si l'application de ce dernier symbole à la numération est bien due aux Indiens, il ne faut pas oublier que, dès le commencement du IIe siècle av. J.-C., dès leur adoption de la numération sexagésimale pour la division du cercle, les Grecs ('Anaphorikos d'Hypsiclès), pour remplacer les ordres manquants, ont employé le même signe dans les manuscrits ô (initiale de ouden, rien, avec une barre horizontale (remplacée ici par l'accent circonflexe) servant à distinguer les lettres employées comme signes numéraux). La division sexagésimale remonte d'ailleurs aux Babyloniens et quoique dans les très anciens monuments (table de Senkereh) qui nous l'ont révélée chez eux, aucune trace de zéro n'apparaisse, il paraît difficile qu'ils aient pu s'en passer toujours. (Paul Tannery).

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