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L'analyse combinatoire

L'analyse combinatoire est la branche des mathématiques qui a pour but d'énumérer les différentes manières dont on peut ranger des objets donnés dans des circonstances déterminées. Les problèmes les plus simples que se propose l'analyse combinatoire sont la recherche des arrangements, des permutations et des combinaisons. 
Arrangements - On appelle arrangements de m éléments n à n, les ensembles que l'on peut former en prenant n éléments parmi les m éléments donnés, de manière à ce que les ensembles différent les uns des autres, soit par la nature, soit par l'ordre des éléments. Ce nombre se désigne par le symbole A(m, n), et l'on prouve dans les ouvrages d'algèbre que : 

A(m,n) = m(m-1).(m-2) ... (m-n+1).

Combinaisons - On appelle combinaisons de m éléments pris n à n les ensembles que l'on peut former en prenant n éléments parmi ces m éléments donnés, de manière à ce que deux éléments différent par la nature des éléments qui servent à les former. Le nombre de ces combinaisons se représente par C(m,n). 

Permutations Lorsque plusieurs objets différents sont donnés, on appelle permutation de ces objets l'un des groupes obtenus en les réunissant tous à la suite les uns des autres. Par exemple, les trois objets a, b, c donnent lieu aux six permutations

abc, acb, cab, bac, bca, cba.

Le nombre total des permutations de n objets est 1.2. 3... n, ou n! (= factorielle de n), suivant la notation habituellement adoptée.

Les permutations circulaires sont les différentes dispositions qu'on peut donner aux objets placés sur le périmètre d'une circonférence. Alors, pour le cas de trois objets, les permutations abc, bca, cab n'en font qu'une, et de même pour bac, acb, cba, puisqu'on petit commencer par un quelconque des objets. II n'y a donc que deux permutations circulaires de trois objets; et en général n objets présentent (n-1)! permutations circulaires différentes.

Ed. Lucas a eu la très heureuse idée des permutations figurées, permettant de représenter une permutation sur un échiquier de n² cases par n cases ombrées, chacune d'elles se trouvant dans une colonne (qui indique le rang) et dans une rangée (qui indique l'objet). C'est ainsi par exemple que les permutations de 8 objets sont représentées par les dispositions possibles de 8 tours, qui ne soient pas en prise réciproque, sur un échiquier ordinaire.

L'étude des permutations a donné lien à de nombreux travaux, portant sur le nombre, la classification, les particularités qu'elles peuvent présenter, etc. 

L'analyse combinatoires est d'une grande utilité dans un grand nombre de recherches, et notamment dans le calcul des probabilités.  (E. R / H. Laurent).
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