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Bhaskara

Bhaskara, surnommé Atcharya (le savant) est un mathématicien indien, né en 1114, est l'auteur du Siddhantaçiromani (couronnement du système), grand traité dont les parties les plus importantes, la Lilavati (la charmante) et le Vijaganita (calcul de racines), ont été publiées avec traduction anglaise de Burgess et remarques de Whitney, dans le Journal of the American oriental Society, vol. VI (1860). Bhaskara est, après Aryabhatta et Brahmagoupta, le troisième et dernier des trois mathématiciens classiques de l'Inde. Après lui il n'y a que des commentateurs, dont la plupart se sont d'ailleurs attachés à ses écrits, notamment Gangadhara vers 1420, Souryadasa vers 1540, Ganesa vers 1545, Ranganatha et Rama-Krichna vers 1640. 

Voici un exemple des problèmes de la Lilavati

Belle jeune fille aux yeux étincelants, dis- -moi, si tu comprends bien la méthode du renversement, quel est le nombre qui, multiplié par 3, après augmentation des 3/4 du produit, division par 7, diminution du tiers du quotient, élévation au carré, diminution de 52, extraction de la racine carrée, addition de 8 et division par 10, fait le nombre 2.
En effectuant dans l'ordre contraire sur le nombre 2 les opérations inverses de celles qui sont indiquées, on trouve 28 : c'est la méthode du renversement. Bhaskara enseigne de même la règle de fausse position, la règle de trois et autres procédés arithmétiques analogues; il s'occupe des progressions arithmétiques et géométriques, des combinaisons; il connaît la convention des quantités négatives, tout en disant qu'elle n'est pas généralement admise, les cas d'ambiguité et d'impossibilité des équations du second degré. Il sait transformer en somme de radicaux la racine d'une express ion irrationnelle, et rendre rationnel le dénominateur d'une fraction à termes irrationnels.

Bhaskara aborde même, dans des cas particuliers, les équations du 3e et 4e degré. Il expose pour la solution de l'équation indéterminée du 1er degré à deux inconnues une méthode qui revient à celle des fractions continues; il traite enfin les problèmes indéterminés du second degré, notamment ceux de la forme xy = ax + by + c, par un procédé où l'introduction de la géométrie semble indiquer une origine grecque, et ceux de la forme ax² + b = cy², par la méthode cyclique retrouvée par Lagrange. A côté des progrès notables qu'il a réalisés, par rapport à ses précurseurs, on doit signaler quelques biearreries, comme pour la division et la multiplication par zéro. 

La géométrie de Bhaskara est relativement moins avancée que son algèbre et s'il traite sur les triangles rectangles quelques problème, assez compliqués, il les résout de fait par le calcul. Les hindous n'ont jamais su au reste faire de démonstrations géométriques en règle; ils se contentent de tracer des figures avec des lignes auxiliaires et de dire : « Voyez ». Pour le rapport de la circonférence au diamètre, Bhaskara connaît l'approximation d'Archimède, et d'autres, telles que 754/240. Cette approximation n'est autre que celle qui se tire des Tables des cordes de Ptolémée. En trigonométrie, Bhaskara enseigne à former une table de sinus et de cosinus pour des arcs variant de degré en degré.

En somme, Bhaskara offre un résumé complet de la mathématique hindoue, telle qu'elle s'est développée du Ve au XIIe siècle de notre ère avec une originalité incontestable sur le domaine de l'algèbre, et au contraire avec une dépendance plus ou moins marquée par rapport aux sources grecques, sur les terrains de la géométrie et de l'astronomie. Cette mathématique a d'ailleurs exercé une influence notable sur la science arabe, mais seulement à une époque antérieure à celle de Bhaskara. Quant à la valeur propre de ce dernier, il est difficile de l'apprécier, en l'absence de documents précis sur les sources qu'il pouvait utiliser. Cependant on doit au moins lui reconnaître une érudition très étendue, un sens critique généralement assez droit, enfin une sagacité assez grande dans les calculs algébriques. (P.Tannery).

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